힘은 벡터, 성분으로 분해된다
힘을 종이에 그리는 법은 화살표 하나다. 길이가 크기이고 머리가 향하는 쪽이 방향이라, 힘은 숫자 하나가 아니라 크기와 방향을 함께 가진 벡터예요. 비스듬한 화살표는 다루기 어려워서 가로로 얼마, 세로로 얼마로 두 조각으로 나눈다. 이것이 성분으로 나누는 일이고, 비스듬한 힘 하나가 수평 힘과 수직 힘의 합과 같아지는 순간이에요. 이 기술이 정역학 전체를 떠받치는데, 평형이든 구조물이든 결국 성분으로 풀기 때문이다. 화살표를 직접 옮기는 데서 시작한다.
화살표의 머리를 잡고 끌면 당긴 만큼 화살표가 길어져 힘이 커지고, 머리를 돌리면 방향이 바뀐다. 크기와 방향이 따로 움직이는데, 크기가 같아도 방향이 다르면 완전히 다른 힘이에요. 5N으로 오른쪽을 미는 것과 5N으로 위를 미는 것은 결과가 전혀 다르다. 힘을 적을 때는 크기만 적으면 안 되고 방향까지 적어야 하며, 보통 수평에서 잰 각으로 방향을 나타낸다.
비스듬한 화살표를 두 조각으로 나눈다. 가로로 얼마나 미는지가 x성분 Fx, 세로로 얼마나 미는지가 y성분이에요. 각을 눕히면 Fx가 커지고 세우면 세로 성분이 커지는데, 거기에 직각삼각형이 보인다. 빗변이 힘 F, 밑변이 Fx, 높이가 세로 성분이니 Fx = F cosθ, Fy = F sinθ, 삼각비 그대로예요. 화살표 하나를 가로 힘과 세로 힘 둘로 바꿔 적은 것이다.
거꾸로도 된다. 가로 힘과 세로 힘을 따로 정하면 둘이 모여 비스듬한 힘 하나가 되살아나고, 슬라이더를 움직이면 그 과정이 보여요. 두 힘을 직사각형의 두 변으로 놓으면 대각선이 합력 F다. 크기는 피타고라스로 F = √(Fx² + Fy²), 방향은 θ = arctan(FyFx) 다. 나누는 일이 하나를 둘로 가르는 것이었다면 모으는 일은 둘을 하나로 합치는 일이에요. 여러 힘을 더할 때는 각각을 성분으로 나눈 다음 가로는 가로끼리 세로는 세로끼리 더하고, 마지막에 이렇게 다시 모은다.
구조물은 평면이 아니라 공간에 있어도 방법은 같다. 가로 Fx, 세로에 깊이 방향을 하나 더하면 된다. 세 방향으로 힘을 쌓으면 화살표가 직육면체의 대각선이 되고 크기는 F = √(Fx² + Fy² + Fz²)예요. 2D의 피타고라스를 3D로 늘린 것뿐이라, 차원이 늘어도 성분으로 나눈다는 생각은 그대로다. 그래서 공간의 힘도 x·y·z 세 수로 적혀요.
방향만 따로 뗀다. 화살표에서 크기를 버리고 방향만 남기면 길이가 딱 1인 짧은 화살표가 되고, 이것을 단위벡터 u라 해요. 평면에서는 u = (cosθ, sinθ)이고 길이는 언제나 |u| = 1이라, 각을 돌려도 머리는 단위원 위를 돈다. 원래 힘은 방향에 크기를 곱하면 되니 F = F·u 이고, 방향은 u가, 크기는 앞의 수가 맡는다. 힘의 두 정보를 갈라 적는 방법이라 방향이 비스듬할 때 요긴하다.