힘은 벡터, 성분으로 분해된다

화살표의 머리를 잡고 끌면 끌어당기는 만큼 화살표가 길어지며 힘이 커지고, 머리를 돌리면 힘의 방향이 바뀐다. 크기와 방향이 따로 노는 게 보이는데, 같은 크기라도 방향이 다르면 완전히 다른 힘이에요. 5N으로 오른쪽을 미는 것과 5N으로 위를 미는 건 결과가 전혀 다르니까요. 그래서 힘을 적을 때는 크기만 적으면 안 되고 방향까지 같이 적어야 하며, 보통 수평에서 잰 각 θ로 방향을 나타낸다.

이제 비스듬한 화살표를 두 조각으로 쪼갠다. 힘이 가로로 얼마나 미는지가 x성분 Fx, 세로로 얼마나 미는지가 y성분 Fy예요. 각 θ를 끌면 화살표가 눕는 만큼 Fx가 커지고 서는 만큼 Fy가 커지는데, 거기서 직각삼각형이 하나 보인다. 빗변이 힘 F, 밑변이 Fx, 높이가 Fy이니 Fx = F cosθ, Fy = F sinθ, 곧 삼각비 그대로예요. 화살표 하나를 가로 힘과 세로 힘 두 개로 바꿔 적은 것이다.

거꾸로도 된다. 가로 힘 Fx와 세로 힘 Fy를 따로 정해 주면 둘이 합쳐져 원래 비스듬한 힘 하나가 되살아나는데, 두 슬라이더를 움직이면 그 과정이 보여요. Fx와 Fy를 직사각형의 두 변으로 놓으면 대각선이 바로 합력 F다. 크기는 피타고라스로 F = √(Fx² + Fy²), 방향은 θ = arctan(FyFx) 다. 분해가 힘 하나를 둘로 나누는 일이었다면 합성은 둘을 하나로 모으는 일이에요. 정역학에서 여러 힘을 더할 때는 각각을 성분으로 쪼갠 다음 가로는 가로끼리 세로는 세로끼리 더하고, 마지막에 이렇게 도로 합친다.

진짜 구조물은 평면이 아니라 공간에 있지만 방법은 똑같다. 가로 Fx, 세로 Fy에 깊이 방향 Fz를 하나 더 보태기만 하면 된다. 세 슬라이더로 상자 모서리를 따라 힘을 쌓으면 화살표가 직육면체의 대각선이 되고 크기는 F = √(Fx² + Fy² + Fz²)예요. 2D 피타고라스를 3D로 늘린 것뿐이라, 차원이 하나 늘어도 성분으로 쪼갠다는 생각은 그대로다. 그래서 복잡해 보이는 공간 힘도 결국 x·y·z 세 숫자로 깔끔하게 적혀요.

마지막으로 방향만 따로 떼어 본다. 화살표에서 크기는 버리고 방향만 남기면 길이가 딱 1인 짧은 화살표가 되는데, 이것을 단위벡터 u라 해요. 평면에서는 u = (cosθ, sinθ)이고 길이는 언제나 |u| = 1이라, 각을 돌려도 머리는 항상 단위원 위를 미끄러진다. 그럼 원래 힘은 어떻게 쓸까. 방향 u에 크기 F를 곱하면 되니 F = F·u 이고, 방향은 u가 책임지고 크기는 앞의 숫자가 책임지는 구조예요. 힘의 두 정보를 가장 깔끔하게 갈라 적는 방법이라, 경사면이나 케이블처럼 방향이 비스듬할 때 특히 요긴하다.