정역학
도심: 도형의 균형점
도심=균형점·넓이 평균, 대칭축 위, x̄ = ΣAx/ΣA 가중 평균, 합성 도형 분할, 표준 도형 도심
모든 넓이에는 단 하나의 균형점이 있어요. 도심, 곧 넓이 조각 전체의 평균 위치죠. 가능하면 대칭에서 찾고, 아니면 넓이로 가중한 평균 x̄ = Σ(A x)Σ A로 구해요.
받침점을 끌어 보세요. 평평한 도형은 받침이 도심 바로 아래 있을 때만 균형을 이뤄요. 그 밖에선 기울죠. 그 균형점이 바로 도심이에요.
도형을 바꿔 봐요. 대칭축은 반드시 도심을 지나니까, 대칭인 도형은 중심을 거저 알려줘요. 적분이 필요 없어요.
오른쪽 넓이를 끌어 보세요. 도심은 넓이로 가중한 평균 x̄ = Σ(A x)ΣA이라, 항상 더 큰 조각 쪽으로 치우쳐요.
복잡한 도형을 단순한 직사각형으로 쪼개고, 각자의 도심을 찾은 뒤, 같은 가중 평균으로 합쳐요. 치수를 끌어 전체 도심이 옮겨가는 걸 봐요.
몇 개는 외워요. 직사각형은 중심에서, 삼각형은 밑변에서 3분의 1 높이에서, 반원은 평평한 변보다 약간 위에서 균형을 이뤄요. 토글해 각각 봐요.
빠른 적용도심은 도형의 균형점, 곧 넓이의 평균 위치예요. 대칭이 있으면 즉시 정해져요. 도심은 늘 모든 대칭축 위에 있거든요. 아니면 넓이로 가중한 평균 x̄ = Σ(A x)ΣA, ȳ = Σ(A y)ΣA로 구하고, 이건 더 큰 조각 쪽으로 치우쳐요. 실제 도형은 단순한 부분으로 쪼개(직사각형은 중심, 삼각형은 3분의 1 높이, 반원은 변 바로 위) 합쳐서 다뤄요. 바로 이 자리에 분포하중의 합력이 작용하고, 다음 단계인 단면 2차 모멘트로 이어져요. 같은 넓이를 거리의 제곱으로 가중하는 거죠.
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