정역학
도심: 도형의 균형점
도심=균형점·넓이 평균, 대칭축 위, x̄ = ΣAx/ΣA 가중 평균, 합성 도형 분할, 표준 도형 도심
모든 넓이에는 단 하나의 균형점이 있다. 넓이 조각 전체의 평균 위치인 도심인데, 가능하면 대칭에서 찾고 아니면 넓이로 가중한 평균 x̄ = Σ(A x)Σ A로 구해요.
받침점을 끌어 보면 평평한 도형은 받침이 도심 바로 아래 있을 때만 균형을 이루고 그 밖에서는 기운다. 그 균형점이 바로 도심이에요.
도형을 바꿔 보면 대칭의 값어치가 드러난다. 대칭축은 반드시 도심을 지나니까 대칭인 도형은 중심을 거저 알려주고, 적분이 필요 없어요.
오른쪽 넓이를 끌어 보면 도심이 어느 쪽으로 가는지 보인다. 도심은 넓이로 가중한 평균 x̄ = Σ(A x)ΣA이라, 항상 더 큰 조각 쪽으로 치우쳐요.
복잡한 도형은 단순한 직사각형으로 쪼갠 뒤 각자의 도심을 찾고 같은 가중 평균으로 합친다. 치수를 끌면 전체 도심이 그에 맞춰 옮겨가는 게 보여요.
몇 개는 외워 두면 편하다. 직사각형은 중심에서, 삼각형은 밑변에서 3분의 1 높이에서, 반원은 평평한 변보다 약간 위에서 균형을 이루는데, 토글하면 각각을 볼 수 있어요.
빠른 적용도심은 도형의 균형점, 곧 넓이의 평균 위치다. 대칭이 있으면 즉시 정해지는데, 도심이 늘 모든 대칭축 위에 있기 때문이에요. 아니면 넓이로 가중한 평균 x̄ = Σ(A x)ΣA, ȳ = Σ(A y)ΣA로 구하고, 그 값은 더 큰 조각 쪽으로 치우친다. 실제 도형은 단순한 부분으로 쪼개(직사각형은 중심, 삼각형은 3분의 1 높이, 반원은 변 바로 위) 합쳐서 다뤄요. 바로 이 자리에 분포하중의 합력이 작용하고, 같은 넓이를 거리의 제곱으로 가중하는 다음 단계인 단면 2차 모멘트로 이어져요.
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