정역학
단면 2차 모멘트: 넓이가 축에서 얼마나 먼가
I = ∫y²dA 거리 제곱 가중, 직사각형 bh³/12, 평행축 Ic + Ad², 방향 효과, I형 보
단면 2차 모멘트 I = ∫ y² dA는 도형의 넓이가 축을 중심으로 얼마나 퍼져 있는지를 재는 양이고, 각 조각을 축까지 거리의 제곱으로 가중한다. 그 제곱 때문에 축에서 멀리 놓인 넓이가 엄청나게 크게 작용하는데, 그것이 튼튼한 보의 모든 비밀이에요.
넓이 조각을 축에서 멀리 끌어 보면 규모가 달라진다. I에 대한 기여는 A d²이라 거리를 두 배로 하면 관성이 네 배가 되는데, 양보다 거리가 훨씬 중요한 셈이에요.
직사각형을 자기 도심축에 대해 보면 I = b h³12이다. 깊이 h가 세제곱으로 들어가서 조금만 더 깊어져도 훨씬 뻣뻣해지는데, 깊이를 끌면 I가 치솟는 게 보여요.
거리 d만큼 떨어진 평행축으로 옮기면 관성이 A d²만큼 커진다. I = Ic + A d², 곧 도심축이 항상 가장 작은 값을 준다는 뜻이고, d를 끌면 그 증가가 눈에 들어와요.
같은 직사각형이라도 방향이 둘이다. 세워 놓으면 넓이가 휨 축에서 멀어져 I가 눕힌 것보다 훨씬 커지는데, 넓이는 같은데 강성은 크게 달라지는 셈이라 토글하면 차이가 뚜렷해요.
I형 보는 이 발상을 극단까지 민다. 대부분의 재료를 멀찍한 플랜지로 보내 적은 넓이로 큰 I를 얻는 구조인데, 같은 넓이의 꽉 찬 막대와 토글해 비교하면 차이가 분명해요.
빠른 적용단면 2차 모멘트 I = ∫ y² dA는 넓이 조각마다 축까지 거리의 제곱으로 가중하니, 넓이가 얼마나 있느냐가 아니라 얼마나 멀리 있느냐를 재는 양이다. 직사각형은 도심에 대해 I = bh³12, 곧 깊이의 세제곱이고, 평행축 정리 I = Ic + A d²로 다른 축으로 옮기며 도심축이 늘 가장 작아요. 합성 단면은 부분마다 공통 축으로 옮겨 더한다. 보가 높이 서고 I형 보가 존재하는 이유가 여기 있는데, 넓이를 바깥으로 밀면 휨 강성을 싸게 살 수 있기 때문이에요. 도심과 2차 모멘트를 손에 쥐었으니 마지막 조각은 면이 미끄러짐에 저항하는 마찰이다.
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