표본에서 잰 값도 흔들린다

버튼을 눌러 표본을 새로 뽑아 보세요. 같은 모집단에서 크기 n이 똑같은 표본을 뽑는데도, 그 평균 x̄는 매번 조금씩 달라요. 한 번 뽑아 한 점, 또 뽑아 또 한 점, 이렇게 표본평균들을 계속 쌓아 히스토그램으로 모으면 처음엔 들쭉날쭉하다가 점점 가운데가 봉긋한 산 모양으로 자리를 잡아요. 이 쌓여가는 분포가 바로 표집분포, 표본평균이라는 통계량이 그리는 자기만의 분포예요. 중요한 건 우리가 재는 대상인 모집단 평균은 고정돼 있는데, 그것을 추정하는 도구인 표본평균이 흔들린다는 점이에요. 그 흔들림의 모양과 폭을 아는 것이 이번 강의 전부예요.

이제 두 분포를 나란히 봐요. 넓게 퍼진 회색은 원자료 하나하나가 흩어진 모습이고, 그 폭이 모집단 표준편차 σ예요. 그 위에 좁게 솟은 파란 분포가 크기 n 표본들의 평균이 흩어진 모습이고, 훨씬 촘촘히 가운데로 모여요. 평균을 내는 과정에서 큰 값과 작은 값이 서로 상쇄되기 때문에, 평균은 개별 값보다 훨씬 덜 흔들려요. 이 좁은 폭이 바로 표준오차이고, 표준편차 σ와 이름이 비슷하지만 전혀 다른 양이에요. σ는 개체가 얼마나 다른가를, 표준오차는 그 개체들의 평균이 얼마나 못 미더운가를 말해요. 슬라이더로 n을 키우면 회색은 그대로인데 파랑만 점점 더 좁아지는 걸 확인해 보세요.

이제 그 폭을 정확한 식으로 못 박아요. 표준오차는 σ 나누기 √n이에요. 분모에 n이 아니라 √n이 있다는 게 핵심이에요. 슬라이더로 n을 키우면 곡선을 따라 표준오차가 떨어지지만, 처음엔 뚝뚝 떨어지다가 갈수록 완만해져요. n을 4배로 늘려야 표준오차가 절반이 되고, 오차를 10분의 1로 줄이려면 표본을 100배 모아야 해요. 이 √n 벽 때문에 정밀도를 높이는 데는 점점 더 큰 비용이 들어요. 그래서 어느 지점부터는 표본을 더 늘리는 것보다 측정 자체를 개선하는 게 나아요. 데이터가 많을수록 좋지만, 그 이득이 √n의 속도로만 자란다는 것을 아는 게 실전 감각이에요.

지금까지 모집단이 종 모양이라 좀 봐준 셈이에요. 그럼 대놓고 한쪽으로 치우친 분포라면 어떨까요? 여기 지수분포는 0 근처에 몰려 있고 오른쪽으로 긴 꼬리를 끄는, 전혀 대칭이 아닌 분포예요. n이 1일 때 표본평균의 분포는 이 치우친 원본 그대로예요. 그런데 슬라이더로 n을 키우면 놀라운 일이 벌어져요. 원천이 이렇게 비뚤어져 있는데도, 표본평균의 분포는 점점 좌우대칭 종 모양으로 다가가고, 금색 정규곡선에 딱 들어맞아요. 이게 중심극한정리의 표집분포 얼굴이에요. normal-clt에서 값을 더하면 종이 된다고 봤다면, 여기서는 그 합을 n으로 나눈 평균의 분포가 원본 모양과 무관하게 N(μ, σ/√n)로 수렴하는 걸 봐요. 그래서 우리는 모집단 모양을 몰라도 표본평균만큼은 정규분포로 다룰 수 있어요.

마지막으로 표본 크기가 표집분포에 미치는 효과를 직접 겹쳐 봐요. 회색은 작은 표본(n=4)의 평균 분포로, 넓게 퍼져 있어요. 파랑은 슬라이더로 키우는 큰 n의 평균 분포예요. n을 올릴수록 파랑은 점점 좁고 높게 솟으며 참평균 둘레로 조여들어요. 두 분포의 중심은 똑같이 μ로 겹치지만, 폭만 σ/√n의 속도로 줄어드는 거예요. 이게 실전에서 뜻하는 바는 분명해요. 표본이 크면 우리 추정값이 참값에 더 가까이, 더 자주 떨어진다는 것, 곧 추정이 더 정밀하다는 것이에요. 여론조사, 임상시험, 품질검사가 표본 크기를 늘리는 이유가 바로 이 그림이에요. 다만 3강에서 봤듯 그 이득은 √n으로만 자라니, 얼마나 좁혀야 충분한지는 늘 비용과 저울질해요.