추정에 폭을 입히면 신뢰구간이다
표본에서 얻은 점추정값은 하나의 숫자라, 참값과 조금 어긋나 있을 가능성이 거의 확실해요. 신뢰구간은 그 불확실함을 인정하는 방법이에요. 추정값 양옆에 오차범위를 붙여 추정값 ± z·SE라는 구간으로 만드는 거죠. 까다로운 부분은 해석이에요. 95% 신뢰란 지금 이 구간에 대한 말이 아니라, 표본을 반복해서 뽑았을 때 그 절차가 참값을 잡아내는 비율이에요. 참값은 고정되어 있고, 무작위인 것은 구간 쪽이에요. 다섯 그림에서 오차범위로 구간을 짓는 법, 반복 표본에서 95%가 참값을 덮는 모습, 신뢰수준과 폭의 맞바꿈, n이 커질 때 오차가 1/√n로 줄어드는 것, 그리고 옳은 해석과 흔한 오해를 차례로 봐요.
신뢰구간은 점추정값에서 출발해 양옆에 오차범위를 붙여 만들어요. 오차범위 = z·SE이고, 배수 z는 신뢰수준이 정해요. 90%면 z = 1.645, 95%면 z = 1.96, 99%면 z = 2.576이에요. 아래 선택으로 신뢰수준을 바꾸면 같은 추정값 둘레에서 괄호가 넓어지고, 고정된 참값은 있던 자리에 그대로 있어요.
이 그림이 95%의 진짜 뜻이에요. 표본마다 추정값이 다르니 구간도 매번 달라져요. 여러 번 뽑아 보면 그중 약 95%가 고정된 참값을 덮고, 덮지 못한 구간은 빨간색으로 표시돼요. 더 뽑을수록 실제로 덮은 비율이 신뢰수준으로 수렴해요. 참값은 한 번도 움직이지 않았고, 움직인 것은 구간이에요.
더 큰 확신은 공짜가 아니에요. 참값을 더 자주 덮으려면 더 넓게 그물을 던져야 해요. 신뢰수준을 올리면 곡선 아래 가운데 넓이가 커지는 동시에 구간 폭 2·z·SE도 늘어나요. 95%와 99%는 눈에 띄게 폭이 벌어지고, 이 맞바꿈은 피할 수 없어요.
오차범위는 z·σ/√n이라, 표본이 커지면 줄어들지만 1/√n의 속도로만 줄어요. 이건 표본분포에서 본 그 표준오차와 같아요. 정밀도를 두 배로 하려면, 즉 오차범위를 절반으로 줄이려면 표본을 네 배로 늘려야 해요. 수확 체감이 처음부터 공식 안에 들어 있어요.
마지막은 조심스러운 해석이에요. 반복하면 이 절차가 95% 확률로 참값을 잡는다는 문장은 옳아요. 하지만 이 구간 안에 참값이 있을 확률이 95%다라는 문장은 틀려요. 구간을 한 번 그리고 나면 고정된 참값은 그 안에 있거나 없거나 둘 중 하나거든요. 확률은 무작위한 표본 추출에 깃드는 것이지, 이미 실현된 하나의 구간에 붙는 게 아니에요.