보 단면의 전단은 중립축에서 최대다

먼저 왜 수평 전단이 생기는지부터 본다. 얇은 판자 여러 장을 그냥 포개서 보처럼 걸치고 누르면 각 판자가 따로 휘면서 끝에서 서로 어긋나 계단처럼 밀린다. 위층은 앞으로, 아래층은 뒤로 미끄러지는 것이에요. 굽힘이 본질적으로 층 사이에 수평 미끄러짐을 만든다는 증거다. 이제 그 판자들을 풀로 딱 붙였다고 하자. 더는 어긋날 수 없고, 대신 그 미끄러지려는 힘을 풀, 곧 단면 내부가 받아내야 한다. 그게 바로 수평 전단응력이에요. 버튼으로 겹친 판자와 붙인 보를 바꿔 보면 붙인 보 안에는 미끄러짐을 막는 수평 전단이 흐르고 있다.

그 수평 전단응력의 크기를 주는 공식이 τ = VQIt 다. 그런데 여기엔 멋진 사실이 숨어 있어요. 어떤 점에서 수평으로 미끄러지려는 정도와 수직 단면에서 위아래로 미끄러지려는 정도가 항상 같은데, 이걸 짝 전단이라고 한다. 그래서 이 한 식이 횡단면의 전단응력도 그대로 준다. V 는 C1 에서 구한 그 단면의 전단력이고, I 는 단면 이차모멘트, t 는 그 높이에서의 단면 폭이에요. V 를 끌면 분포 전체가 V 에 비례해 커진다. 전단력이 두 배면 전단응력도 두 배로, 모양은 그대로 두고 크기만 변한다. 그 모양을 정하는 게 남은 한 조각 Q 다.

Q 는 면적의 1차 모멘트다. 말이 어렵지 뜻은 단순해요. 응력을 보고 싶은 그 높이에서 단면을 가로로 자르고 그 절단선 위쪽 면적만 떼어낸다. 그 면적에다 면적의 무게중심에서 중립축까지의 거리를 곱한 게 Q 다. Q = A′·ȳ′. 절단선을 끌어 맨 위에서 자르면 위쪽 면적이 거의 0 이라 Q 도 0 이다. 아래로 내려와 중립축에서 자르면 위쪽 면적이 단면의 절반이나 되고 팔길이도 충분해서 Q 가 최대가 돼요. 그래서 Q 는 중립축에서 가장 크고 표면에서 0 이다. τ = VQIt 에서 V, I 는 단면 전체로 고정이고 t 도 직사각형이면 일정하니, 결국 전단응력 분포 모양은 Q 가 그대로 정하는 것이다.

이제 분포를 그려 본다. Q 가 중립축에서 최대고 표면에서 0 이니 직사각형 단면의 전단응력은 포물선이에요. 가운데 중립축에서 가장 크고 위아래 표면으로 갈수록 부드럽게 0 으로 떨어진다. 탐침을 끌어 위아래로 움직이면 그 포물선이 읽힌다. 여기서 굽힘과 비교하면 머리에 콕 박혀요. 굽힘응력 σ 는 깊이에 선형, 표면에서 최대, 중립축에서 0 이었다. 전단응력 τ 는 정반대로 포물선, 중립축에서 최대, 표면에서 0 이다. 그래서 같은 보라도 어디가 위험한지가 다르다. 굽힘은 바깥 섬유를, 전단은 중립축 근처를 걱정해야 해요. 보통 긴 보는 굽힘이, 짧고 굵은 보는 전단이 지배한다.

이 모든 게 왜 I빔이 그렇게 생겼는지 설명해 준다. τ = VQIt 에서 t 는 분모라, 단면 폭이 좁은 곳에서 전단응력이 확 커져요. I빔은 가운데가 얇은 웹이고 위아래가 넓은 플랜지다. V 를 끌어 분포를 보면 넓은 플랜지에서는 t 가 커서 τ 가 작다가, 얇은 웹으로 들어가는 순간 t 가 뚝 줄어 τ 가 껑충 뛴다. 그래서 전단은 거의 다 웹이 받아요. 반대로 굽힘응력은 중립축에서 먼 플랜지가 도맡는다. 역할 분담이 완벽하다. 플랜지는 굽힘을, 웹은 전단을 맡는 것이다. 그래서 I빔 설계에서 웹은 전단으로, 플랜지는 굽힘으로 따로 점검해요. 단면 하나에 두 강이 한꺼번에 담겨 있는 셈이다.