보 단면의 전단은 중립축에서 최대다

먼저 왜 수평 전단이 생기는지 본다. 얇은 판자 여러 장을 그냥 포개 보처럼 걸치고 누르면, 각 판자가 따로 휘면서 끝에서 서로 어긋나 계단처럼 밀린다. 위층은 앞으로, 아래층은 뒤로 미끄러져요. 굽힘이 층 사이에 수평 미끄러짐을 만든다는 증거다. 이제 그 판자를 풀로 붙였다고 하자. 더는 어긋날 수 없고, 미끄러지려는 힘을 풀, 곧 단면의 내부가 받아내야 한다. 그것이 수평 전단응력이에요. 겹친 판자와 붙인 보를 바꾸면, 붙인 보 안에는 미끄러짐을 막는 수평 전단이 흐르고 있다. 붙이면 미끄러짐이 힘으로 바뀐다. 그 힘이 단면 속을 흐른다.

그 수평 전단응력의 크기를 주는 공식이 τ = VQIt 다. 여기에는 멋진 사실이 숨어 있어요. 어떤 점에서 수평으로 미끄러지려는 정도와, 수직 단면에서 위아래로 미끄러지려는 정도가 언제나 같고, 이것을 짝 전단이라고 한다. 그래서 이 한 식이 횡단면의 전단응력도 그대로 준다. V 는 C1 에서 구한 그 단면의 전단력이고, I 는 단면 이차모멘트, t 는 그 높이에서의 단면 폭이에요. V 를 옮기면 분포 전체가 V 에 비례해 커진다. 전단력이 커지면 전단응력도 같은 비율로 커지고, 모양은 그대로 둔 채 크기만 변한다. 그 모양을 정하는 것이 남은 한 조각 Q 다.

Q 는 면적의 1차 모멘트다. 말이 어렵지, 뜻은 단순해요. 응력을 보고 싶은 높이에서 단면을 가로로 자르고, 그 절단선 위쪽 면적만 떼어 낸다. 그 면적에, 면적의 무게중심에서 중립축까지의 거리를 곱한 것이 Q 다. Q = A′·ȳ′. 절단선을 옮겨 맨 위에서 자르면 위쪽 면적이 거의 0이라 Q 도 0이다. 아래로 내려와 중립축에서 자르면 위쪽 면적이 단면의 절반이나 되고, 팔길이도 충분해서 Q 가 최대가 돼요. 그래서 Q 는 중립축에서 가장 크고 표면에서 0이다. τ = VQIt 에서 V, I 는 단면 전체로 고정이고, t 도 직사각형이면 일정하니, 전단응력 분포의 모양은 Q 가 그대로 정한다. 위쪽 면적이 모양을 정한다.

이제 분포를 그려 본다. Q 가 중립축에서 최대이고 표면에서 0이니, 직사각형 단면의 전단응력은 포물선이에요. 가운데 중립축에서 가장 크고, 위아래 표면으로 갈수록 부드럽게 0으로 떨어진다. 탐침을 옮겨 위아래로 움직이면 그 포물선이 읽힌다. 굽힘과 비교하면 머리에 남아요. 굽힘응력은 깊이에 선형이고, 표면에서 최대, 중립축에서 0이었다. 전단응력은 정반대로 포물선이고, 중립축에서 최대, 표면에서 0이다. 그래서 같은 보라도 어디가 위험한지가 다르다. 굽힘은 바깥 섬유를, 전단은 중립축 근처를 걱정해야 해요. 긴 보는 굽힘이, 짧고 굵은 보는 전단이 지배한다. 바깥과 가운데가 역할을 바꾼다.

이 모든 것이 I빔의 모양을 설명해 준다. τ = VQIt 에서 t 는 분모라, 단면 폭이 좁은 곳에서 전단응력이 확 커져요. I빔은 가운데가 얇은 웹이고 위아래가 넓은 플랜지다. V 를 옮겨 분포를 보면, 넓은 플랜지에서는 t 가 커서 응력이 작다가, 얇은 웹으로 들어가는 순간 t 가 줄어 응력이 뛴다. 그래서 전단은 거의 다 웹이 받는다. 반대로 굽힘응력은 중립축에서 먼 플랜지가 맡아요. 역할이 나뉜다. 플랜지는 굽힘을, 웹은 전단을 맡는 것이다. I빔을 설계할 때 웹은 전단으로, 플랜지는 굽힘으로 따로 점검한다. 단면 하나에 두 강이 함께 담겨 있는 셈이다. 웹과 플랜지가 일을 나눈다. 역할이 분명하다.