축을 비틀면 전단응력이 반지름에 비례한다
자동차의 구동축, 드라이버로 조이는 나사, 발전기의 회전축. 이들은 당겨지는 게 아니라 비틀려요. 축을 비틀면 안에서 무슨 일이 생길까요? 앞에서 본 인장 이야기가 거의 그대로 반복되는데, 단 하나 결정적인 차이가 있어요. 비틀림에서는 응력이 위치마다 달라요. 중심축은 거의 가만히 있고, 바깥 표면이 가장 심하게 비틀려요. 전단응력이 반지름에 정비례로 커지죠. τ = TρJ 가 그걸 말해요. 그리고 비틀림각은 φ = TLGJ 로, B1 의 δ = PLAE 와 글자만 바꾼 쌍둥이예요. 이 반지름 의존성 하나가, 왜 무거운 축의 속을 비워도 되는지까지 설명해 줘요.
먼저 비틀림이 뭔지 봐요. 한쪽 끝을 고정하고 반대쪽에 토크 T 를 줘 비틀어 보세요. 그러면 단면들이 서로 회전해요. 고정단은 가만있고, 자유단이 가장 많이 돌죠. 끝과 끝의 회전 차이가 비틀림각 φ 예요. 표면에 길게 그어 둔 직선을 보세요. 비틀수록 나선으로 기울어요. 중요한 건 단면 자체는 평평하게 남고 동그란 모양도 그대로라는 거예요. 원형 단면은 그냥 제자리에서 돌기만 해요. 휘거나 우그러지지 않죠. 이 깔끔한 성질 덕분에 비틀림이 아주 단순한 공식으로 정리돼요.
이제 핵심 통찰이에요. 단면이 통째로 돈다는 건, 중심에서 멀수록 더 많이 움직인다는 뜻이에요. 같은 각도만큼 돌아도, 반지름이 큰 점일수록 호 길이가 길죠. 그래서 전단변형 γ 가 반지름 ρ 에 정비례해요. 중심축에서는 γ 가 0, 표면에서 최대. 위젯에서 비틀림을 키워 보세요. 중심선은 그대로 누워 있고, 바깥쪽 세로선일수록 더 가파르게 기울죠. 이게 비틀림의 전부예요. 변형이 반지름에 선형으로 분포한다. 인장에서는 단면 전체가 똑같이 늘었지만, 비틀림은 위치 따라 달라요. 바로 이 차이가 다음 응력 분포를 정해요.
전단변형이 반지름에 비례하면, 후크의 법칙 τ = G·γ 에 의해 전단응력도 반지름에 비례해요. 중심에서 0, 표면에서 최대. 이걸 식으로 쓰면 τ = TρJ 예요. T 는 비틀림 토크, ρ 는 보고 싶은 위치의 반지름, J 는 단면의 극관성모멘트라는 기하 값이에요. J 는 인장의 면적 A 자리에 오는 건데, 차이가 있어요. A 는 그냥 넓이지만 J 는 면적에 반지름 제곱을 곱해 적분한 거라, 바깥쪽 재료가 훨씬 더 크게 기여해요. T 를 끌어 보세요. 응력 분포가 가운데는 파랗고 표면이 빨갛게, 삼각형처럼 선형으로 커지죠. 그래서 비틀림 파손은 항상 표면에서 시작해요.
이제 축이 통째로 얼마나 돌아가는지, 비틀림각 φ 를 봐요. φ = TLGJ 예요. B1 의 δ = PLAE 랑 한번 나란히 놓아 보세요. 힘 P 자리에 토크 T, 길이 L 은 그대로, 면적 A 자리에 극관성모멘트 J, 그리고 영률 E 자리에 전단탄성계수 G. 완벽한 일대일 대응이에요. 토크가 클수록, 축이 길수록 더 많이 비틀리고, GJ 가 클수록 덜 비틀려요. 그래서 GJ 를 비틀림 강성이라고 불러요. T 를 끌어 보세요. 자유단이 φ 만큼 돌죠. 인장에서 막대가 스프링이었던 것처럼, 비틀리는 축은 비틀림 스프링이에요. 토크를 주면 각도로 되돌려 주는.
마지막으로 실무에서 가장 쓸모 있는 결론이에요. 응력도 변형도 중심 근처에선 거의 0 이었죠. 중심 재료는 비틀림을 거의 안 견디면서 무게만 차지해요. 그럼 속을 비우면 어떨까요? 안지름을 끌어 속을 파내 보세요. 무게는 반지름 제곱으로 빠르게 줄지만, 강성 J 는 반지름 네제곱이라 천천히 줄어요. 그래서 가운데를 꽤 비워도 비틀림 강성은 거의 그대로 남아요. 단위 무게당 효율이 확 올라가죠. 자전거 프레임, 드라이브 샤프트, 골프채가 다 속 빈 관인 이유예요. 같은 무게로 더 단단하게, 또는 같은 강성을 더 가볍게. 비틀림의 반지름 의존성이 준 선물이에요.