축을 비틀면 전단응력이 반지름에 비례한다

먼저 비틀림이 무엇인지 본다. 한쪽 끝을 고정하고 반대쪽에 토크 T 를 주어 비틀면, 단면들이 서로 회전해요. 고정된 끝은 가만히 있고 자유로운 끝이 가장 많이 도는데, 끝과 끝의 회전 차이가 비틀림각이다. 표면에 길게 그어 둔 직선은 비틀수록 나선으로 기운다. 중요한 것은 단면 자체가 평평하게 남고, 동그란 모양도 그대로라는 점이에요. 원형 단면은 제자리에서 돌기만 하고, 휘거나 우그러지지 않는다. 이 깔끔한 성질 덕분에 비틀림이 아주 단순한 공식으로 정리된다.

이제 핵심 통찰이다. 단면이 통째로 돈다는 것은, 중심에서 멀수록 더 많이 움직인다는 뜻이에요. 같은 각도만큼 돌아도 반지름이 큰 점일수록 호의 길이가 길기 때문이다. 그래서 전단변형이 반지름에 정비례한다. 중심에서는 변형이 0 이고, 표면에서 최대다. 비틀림을 키우면 중심선은 그대로 누워 있고, 바깥쪽 세로선일수록 더 가파르게 기울어요. 이것이 비틀림의 전부다. 변형이 반지름을 따라 선형으로 퍼진다는 것. 인장에서는 단면 전체가 똑같이 늘었지만, 비틀림은 위치에 따라 다르고, 바로 이 차이가 다음 응력의 분포를 정한다.

전단변형이 반지름에 비례하면, 후크의 법칙 τ = G·γ 에 의해 전단응력도 반지름에 비례한다. 중심에서 0, 표면에서 최대다. 식으로 쓰면 τ = TρJ 예요. T 는 비틀림 토크이고, 보고 싶은 위치의 반지름이 있고, J 는 단면의 극관성모멘트라는 기하의 값이다. J 는 인장의 면적 A 자리에 오는데, 차이가 있다. A 는 그냥 넓이지만 J 는 면적에 반지름의 제곱을 곱해 적분한 것이라, 바깥쪽 재료가 훨씬 더 크게 기여해요. T 를 옮기면 응력의 분포가 가운데는 낮고 표면이 높으며, 삼각형처럼 선형으로 커진다. 그래서 비틀림 파손은 언제나 표면에서 시작한다.

이제 축이 통째로 얼마나 돌아가는지, 비틀림각을 본다. φ = TLGJ 다. B1 의 δ = PLAE 와 나란히 놓으면 대응이 보여요. 힘 P 자리에 토크 T, 길이 L 은 그대로, 면적 A 자리에 극관성모멘트 J, 그리고 영률 E 자리에 전단탄성계수 G 다. 완벽한 일대일 대응이다. 토크가 클수록, 축이 길수록 더 많이 비틀리고, GJ 가 클수록 덜 비틀린다. 그래서 GJ 를 비틀림 강성이라고 부른다. T 를 옮기면 자유로운 끝이 그 각도만큼 돌아요. 인장에서 막대가 스프링이었던 것처럼, 비틀리는 축은 토크를 주면 각도로 되돌려 주는 비틀림 스프링이다.

마지막으로 실무에서 가장 쓸모 있는 결론이다. 응력도 변형도 중심 근처에서는 거의 0 이었다. 중심의 재료는 비틀림을 거의 버티지 않으면서 무게만 차지한다. 그러면 속을 비우면 어떨까. 안지름을 옮겨 속을 파내 본다. 무게는 반지름의 제곱으로 빨리 줄지만, 강성 J 는 반지름의 네제곱이라 천천히 줄어요. 그래서 가운데를 꽤 비워도 비틀림 강성은 거의 그대로 남고, 무게당 효율이 크게 올라간다. 자전거 프레임과 구동축과 골프채가 모두 속 빈 관인 이유예요. 같은 무게로 더 단단하게, 또는 같은 강성을 더 가볍게. 비틀림이 반지름에 기대는 성질이 준 선물이다.