보를 따라 V와 M이 어떻게 변하는가
B3 에서 굽힘응력 σ = MyI 를 배웠죠. 그런데 그 M, 굽힘 모멘트는 보의 위치마다 달라요. 다리 한가운데와 받침 근처가 같은 부담을 질 리 없잖아요. 그래서 보를 설계하려면 먼저 보 전체에 걸쳐 내력이 어떻게 분포하는지 알아야 해요. 내력은 두 가지예요. 면을 따라 미끄러뜨리려는 전단 V, 그리고 휘게 만드는 모멘트 M. 이 둘을 보의 길이에 따라 그린 게 전단력 선도와 굽힘모멘트 선도, 줄여서 V·M 선도예요. 놀라운 건 둘이 따로 노는 게 아니라는 거예요. M 의 기울기가 바로 V 고, V 의 기울기는 분포하중이에요. 그리고 이 선도에서 M 이 가장 큰 한 점, 그게 보가 부러질 자리예요.
먼저 무대를 차려요. 양 끝을 받침으로 받친 단순지지보에 점하중 하나를 얹어요. 하중을 떠받치려면 두 받침이 위로 밀어 올려야 하는데, 그 힘이 반력이에요. 평형 조건이 반력을 정해요. 위아래 힘의 합이 0, 그리고 어느 점에 대한 회전의 합도 0. 그러면 하중에 가까운 받침이 더 많이 받는다는 직관적인 결과가 나와요. 하중 위치를 끌어 보세요. 하중을 왼쪽으로 옮기면 왼쪽 반력이 커지고 오른쪽은 작아지죠. 정확히는 R1 = P(L−a)L, R2 = P·aL. 이 반력을 먼저 구해 두는 게 모든 보 해석의 출발점이에요.
이제 A1 에서 했던 그 가상 절단을 다시 꺼내요. 보를 어느 위치에서 마음속으로 자르고, 왼쪽 토막만 떼어 봐요. 이 토막이 평형을 유지하려면, 잘린 면에 두 가지 내력이 있어야 해요. 위아래 힘의 균형을 맞추는 전단 V, 그리고 회전을 막는 모멘트 M 이에요. 왼쪽 토막에 작용하는 힘들, 즉 반력과 거기까지 걸린 하중을 모아 평형을 쓰면 그 자리의 V 와 M 이 딱 나와요. 절단 위치를 끌어 보세요. 자르는 곳을 옮길 때마다 V 와 M 이 달라지죠. 바로 이게 핵심이에요. 내력은 위치의 함수예요. 자른 단면마다 다른 V(x), M(x) 를 갖는 거죠.
절단을 한 군데가 아니라 보의 처음부터 끝까지 쭉 옮겨 가며 V 를 기록하면, 그 그래프가 전단력 선도예요. 점하중만 있는 보에서는 모양이 아주 단순해요. 하중과 하중 사이에서는 V 가 일정하다가, 하중을 지나는 순간 그 하중 크기만큼 뚝 떨어져요. 계단 모양이죠. 하중 위치를 끌어 보세요. 왼쪽 구간은 +R1 높이, 오른쪽 구간은 −R2 높이로, 하중점에서 P 만큼 점프하는 게 보여요. 이 계단의 면적이 사실 모멘트와 연결되는데, 그건 다음 장면에서 봐요. 일단 V 선도는 받침과 하중이 만드는 계단이라고 기억하면 돼요.
이제 모멘트 선도예요. 단순지지보에 점하중이면, M 은 양 끝에서 0 이고 하중점에서 뾰족한 정점을 찍는 삼각형이에요. 그런데 V 선도와 나란히 놓고 보면 숨은 규칙이 보여요. M 의 기울기가 바로 V 예요. dM/dx = V. V 가 양수인 왼쪽 구간에서는 M 이 일정한 기울기로 올라가고, V 가 음수인 오른쪽에서는 내려와요. 그리고 V 가 0 이 되는 지점, 여기선 하중점이죠, 거기서 M 이 정점을 찍어요. 하중 위치를 끌어 보세요. V 계단이 움직이면 M 삼각형의 꼭대기도 따라 움직이죠. 이 관계 덕분에, V 만 알면 적분으로 M 을 그릴 수 있어요. V 선도의 면적이 M 의 변화량이거든요.
이제 이 모든 게 왜 중요한지예요. B3 에서 굽힘응력은 σ = MS, 모멘트에 비례했죠. 그러니 보에서 가장 위험한 곳은 M 이 가장 큰 자리예요. 거기서 응력이 최대라 먼저 항복하거나 부러져요. V·M 선도를 그리는 진짜 이유가 이거예요. 그 최대 M 한 값을 찾으려고요. 그 값만 알면 σmax = MmaxS 로 단면이 버티는지 바로 판정할 수 있어요. 하중 위치를 끌어 보세요. 정점이 따라 움직이고, 하중이 정확히 중앙일 때 Mmax 가 가장 커지죠. 그래서 설계자는 최악의 하중 위치를 가정해 Mmax 를 잡고, 거기에 맞춰 단면을 골라요. 선도의 그 한 점이 보 전체의 운명을 정해요.