전단 0인 면의 수직응력이 주응력이다

먼저 주축이 어디인지 정한다. 주응력면은 전단이 0인 면이니까, 변환식의 τ′ 을 0으로 놓고 각을 풀면 된다. 그러면 tan2θp = 2τxy(σx−σy) 가 나오고, 이 각이 주축의 방향이에요. 주축이 고정된 것이 아니라, 응력 상태에 따라 함께 돈다는 점이 중요하다. 전단을 키우면 주축이 점점 더 기울고, 전단이 0이면 주축은 그냥 x, y 축 그대로다. 주축은 그 응력 상태가 스스로 정하는 자연스러운 방향이에요. 한 점의 응력을 가장 단순하게 볼 수 있는 좌표, 전단이 사라지고 밀고 당김만 남는 방향이다. 전단이 없는 그 방향이 그 점의 주축이다.

이제 주응력의 값이에요. 변환식에 주각을 넣어 정리하면, 놀랄 만큼 깔끔한 꼴이 나온다. σ1,2 = (σx+σy)2 ± R. 평균 (σx+σy)2 를 중심으로, 반지름 R 만큼 양쪽으로 벌어진 두 값이에요. 여기서 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) 다. 전단을 옮기면 평균은 그대로인데 R 이 커지면서 σ1 과 σ2 가 평균에서 양쪽으로 멀어진다. 전단이 크면 그 점은 그만큼 험한 응력 상태이고, 주응력의 폭도 그만큼 넓어지는 것이다. 이 평균 ± 반지름의 구조는 어디서 본 듯하지 않나요. 한 점을 중심으로 반지름만큼 떨어진 두 점, 이것이 다음 강의 모어원으로 곧장 이어진다. 폭이 넓을수록 그 점은 더욱 험해져요.

주응력면을 찾았으면 최대 전단면은 거저다. 언제나 주응력면에서 정확히 45도 떨어진 곳이기 때문이에요. 왼쪽은 주응력 요소다. 전단 화살표가 없고 σ1, σ2 만 면을 밀고 당긴다. 오른쪽은 거기서 45도 돌린 최대 전단 요소인데, 여기에는 큰 전단 화살표가 있고 수직응력은 양면 모두 평균값 (σx+σy)2 로 같다. 그 최대 전단의 크기가 τ_max = R = (σ1−σ2)2 로, 주응력의 폭을 반으로 나눈 값이다. 전단을 옮기면 두 요소가 함께 자란다. 한 점의 응력은 두 얼굴을 가진다. 전단이 사라지고 수직응력이 극단인 주응력면, 그리고 45도 돌아 전단이 극단인 최대 전단면이다. 두 얼굴이 한 점이에요.

이것이 왜 중요한지는 파손으로 이어 보면 분명해져요. 재료마다 약점이 다르다. 분필이나 주철 같은 취성 재료는 잡아당기는 힘, 곧 수직 인장에 약하다. 그래서 최대 주응력 σ1 에 수직으로 쪼개지고, 인장 시편이라면 축에 가로로 부러진다. 강철 같은 연성 재료는 미끄러짐, 곧 전단에 먼저 굴복한다. 그래서 최대 전단면을 따라, 주응력면에서 45도 기운 면을 따라 미끄러지며 끊어진다. 버튼으로 둘을 바꾸면, 같은 인장인데도 부서지는 면의 방향이 완전히 달라져요. 그래서 주응력 σ1 과 최대 전단을 둘 다 구해야 한다. 어느 쪽이 위험한지는 재료가 정하니, 취성이면 σ1 을, 연성이면 최대 전단을 한계와 비교하는 것이에요. 재료가 약한 쪽을 먼저 본다.

마지막으로 전부를 한 장에 모은다. 세 응력이 주어지면 먼저 반지름 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) 를 구한다. 그러면 주응력은 σ1,2 = (σx+σy)2 ± R 이고, 주각은 tan2θp = 2τxy(σx−σy) 이며, 최대 전단은 τ_max = R 다. 이 네 줄이면 한 점의 응력 상태가 완전히 풀려요. 전단을 옮기며 네 값이 어떻게 같이 움직이는지 보면, R 이 모든 것을 묶는 핵심이라는 것이 드러난다. R 이 커지면 주응력의 폭도 최대 전단도 같이 커진다. 이 공식들은 외워서 쓰면 부호와 각도에서 실수가 나요. 그래서 다음 강에서는 이 네 줄을 그림 하나로 바꾸는 모어원을 배운다. 평균을 중심으로 반지름 R 인 원 위에서, 모든 변환이 회전이 되는 도구다. 네 줄이 한 점의 답을 한자리에 모아 두어요.