전단 0인 면의 수직응력이 주응력이다

먼저 주축이 어디인지 정한다. 주응력면은 전단이 0 인 면이니까, 변환식의 τ′ 을 0 으로 놓고 각을 풀면 된다. 그러면 tan2θp = 2τxy(σx−σy) 가 나오고, 이 각 θp 가 주축 방향이에요. 중요한 건 주축이 고정된 게 아니라 응력 상태에 따라 함께 돈다는 점이다. τxy 를 끌면 전단이 커질수록 주축이 점점 더 기울고, 전단이 0 이면 주축은 그냥 x, y 축 그대로다. 그러니까 주축은 그 응력 상태가 스스로 정하는 자연스러운 방향이에요. 한 점의 응력을 가장 단순하게 볼 수 있는 좌표계, 전단이 사라지고 밀고 당김만 남는 방향이다.

이제 주응력의 값이다. 변환식에 θp 를 넣어 정리하면 놀랄 만큼 깔끔한 꼴이 나온다. σ1,2 = (σx+σy)2 ± R. 평균 (σx+σy)2 를 중심으로 반지름 R 만큼 양쪽으로 벌어진 두 값이에요. 여기서 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) 다. τxy 를 끌면 평균은 그대로 가만히 있는데 R 이 커지면서 σ1 과 σ2 가 평균에서 양쪽으로 쫙 멀어진다. 직관적으로도 말이 된다. 전단이 크면 그 점은 그만큼 험한 응력 상태이고, 주응력의 폭도 그만큼 넓어지는 것이다. 이 평균 ± 반지름 구조는 어디서 본 것 같지 않나요? 한 점을 중심으로 반지름만큼 떨어진 두 점, 이게 다음 강의 모어원으로 곧장 이어진다.

주응력면을 찾았으면 최대 전단면은 거저다. 늘 주응력면에서 정확히 45도 떨어진 곳이기 때문이에요. 위젯 왼쪽은 주응력 요소다. 전단 화살표가 없고 σ1, σ2 만 면을 밀고 당긴다. 오른쪽은 거기서 45도 돌린 최대 전단 요소인데, 여기엔 큰 전단 화살표가 있고 수직응력은 양면 다 평균값 (σx+σy)2 로 같아요. 그 최대 전단의 크기가 τ_max = R = (σ1−σ2)2 로, 주응력의 폭을 반으로 나눈 값이다. τxy 를 끌면 두 요소가 함께 자란다. 정리하면 한 점의 응력은 두 얼굴을 가진다. 전단이 사라지고 수직응력이 극단인 주응력면, 그리고 45도 돌아 전단이 극단인 최대 전단면이다.

이게 왜 그렇게 중요한지는 파손으로 이어 보면 분명해진다. 재료마다 약점이 다르다. 분필이나 주철 같은 취성 재료는 잡아당기는 힘, 즉 수직 인장에 약하다. 그래서 최대 주응력 σ1 에 수직으로 쪼개지고, 인장 시편이라면 축에 가로로 똑 부러진다. 반면 강철 같은 연성 재료는 미끄러짐, 즉 전단에 먼저 굴복한다. 그래서 최대 전단면을 따라, 주응력면에서 45도 기운 면을 따라 미끄러지며 끊어져요. 버튼으로 둘을 바꾸면 같은 인장인데도 부서지는 면의 방향이 완전히 달라진다. 그래서 주응력 σ1 과 최대 전단 τ_max 를 둘 다 구해야 한다. 어느 게 위험한지는 재료가 정하니까 취성이면 σ1 을, 연성이면 τ_max 를 한계와 비교하는 것이에요.

마지막으로 전부 한 장에 모은다. σx, σy, τxy 가 주어지면 먼저 반지름 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) 를 구한다. 그러면 주응력은 σ1,2 = (σx+σy)2 ± R, 주각은 tan2θp = 2τxy(σx−σy), 최대 전단은 τ_max = R. 딱 이 네 줄이면 한 점의 응력 상태가 완전히 풀려요. τxy 를 끌면서 네 값이 어떻게 같이 움직이는지 보면, R 이 모든 걸 묶는 핵심 양이라는 게 드러난다. R 이 커지면 주응력 폭도 최대 전단도 같이 커진다. 그런데 이 공식들은 외워서 쓰면 자꾸 부호와 각도에서 실수가 나요. 그래서 다음 강에서는 이 네 줄을 통째로 그림 하나로 바꾸는 모어원을 배운다. 평균을 중심으로 반지름 R 인 원, 그 위에서 모든 변환이 그냥 회전이 되는 마법 같은 도구다.