한 방향 늘이면 수직 방향은 줄어든다
고무줄을 길게 당겨 보면, 늘어나는 동시에 가운데가 가늘어진다. 한 방향으로 잡아당겼을 뿐인데, 그와 수직인 방향은 저절로 줄어들어요. 고무만의 일이 아니다. 금속도 콘크리트도 거의 모든 재료가 이러하고, 정도만 다르다. 가로로 줄어든 것과 세로로 늘어난 것의 비율을 푸아송비라고 부른다. 재료마다 정해진 또 하나의 고유한 상수예요. 작아 보이는 효과지만, 부피가 변하는 일과, 앞에서 본 E 와 G 가 한 식으로 묶이는 일까지 의외로 깊게 이어진다. A 줄기의 마지막 조각이다. 가로가 같이 움직이는 효과다.
먼저 효과 자체를 본다. 막대를 길게 당기면, 길어지는 만큼 가로 폭이 슬그머니 좁아져요. 점선이 원래 모양이고, 당길수록 더 가늘어진다. 직관으로는 좀 이상하다. 옆으로는 아무 힘도 주지 않았는데 옆이 왜 줄어들까. 재료를 잘게 보면, 길게 늘어나려고 원자들이 축 방향으로 벌어지면서 옆으로는 서로 끌려 들어오는 것이에요. 한쪽으로 길어지려면 다른 쪽에서 살을 빌려 오는 셈이다. 늘이면 좁아진다. 이것이 푸아송 효과의 첫인상이다. 옆의 수축이 첫 그림이다.
이제 그 효과에 숫자를 붙인다. 세로로 늘어난 변형률과 가로로 줄어든 변형률을 나란히 둔다. 가로는 줄어드니까 부호가 반대인 음수예요. 푸아송비는 이 둘의 비에 음의 부호를 붙인 것이다. ν = − εlateralεaxial. 음의 부호를 붙이는 것은, 가로 변형이 원래 음수라서 비를 양수로 깔끔하게 만들려는 것이다. 세로 변형을 옮기면, 세로로 늘일 때 가로가 그 0.3배만큼 줄어들어요. 비율은 언제나 일정하다. 더 세게 당겨도 비는 변하지 않는다. 그 비는 변형의 크기가 아니라 재료가 가진 성질이기 때문이다. 재료의 성질이라 세기가 비를 바꾸지 않는다.
여기서 재미있는 질문이 나온다. 늘이면서 옆이 줄면 부피는 어떻게 될까. 둘이 상쇄되어 그대로일까. 계산해 보면 부피의 변화율은 대략 ΔVV ≈ ε(1 − 2ν) 예요. 그 비를 옮겨 본다. 보통 재료는 비가 0.5보다 작아서, 당기면 부피가 살짝 늘어난다. 가로의 수축이 세로의 늘음을 다 못 잡아먹는 것이다. 그런데 비가 딱 0.5가 되면 1 − 2ν 가 0이 되어 부피가 전혀 변하지 않아요. 이것이 비압축성이다. 고무가 여기에 가까워서, 늘여도 짜내도 부피가 거의 그대로다. 비가 0.5를 넘을 수 없는 것도 이 때문이다. 그러면 당겼는데 부피가 줄어드는 이상한 일이 생긴다.
값은 재료마다 다르다. 버튼으로 바꿔 본다. 대부분의 금속은 비가 0.3 근처예요. 강철과 알루미늄과 구리가 모두 비슷하다. 그래서 시험에서 값이 주어지지 않으면 금속은 0.3 으로 잡는 것이 보통이다. 반대쪽 끝에는 고무가 있다. 비가 0.5에 가까워서, 당기면 가로가 많이 줄고 거의 비압축성이에요. 그리고 재미있는 것이 코르크다. 비가 0에 가까워서, 당겨도 옆이 거의 줄지 않는다. 그래서 코르크 마개를 병에 밀어 넣을 때 옆으로 불룩해지지 않아 잘 들어간다. 이 비는 이렇게 0에서 0.5 사이에 들어온다.
마지막으로, 이 비가 왜 중요한지 보여 주는 한 방이 있다. 앞에서 인장 강성 E 와 전단 강성 G 를 따로 만났다. 등방성 재료에서는 이 둘이 독립이 아니라, 푸아송비가 둘을 묶어요. G = E(2(1 + ν)). 비를 옮기면 E 를 고정해 두어도 그 비가 G 를 정해 버린다. 금속처럼 비가 0.3 이면 G 는 E 의 약 0.385배, 그러니까 강철의 E 200 GPa 에 G 가 약 77 GPa 정도다. 이 식 덕분에 셋 중 둘만 알면 나머지 하나는 저절로 나와요. E, G, 그리고 푸아송비, 이 세 상수는 사실 자유도가 둘뿐인 한 가족이다. 이걸로 A 줄기, 응력과 변형의 기초가 끝난다.