한 점의 응력은 보는 각도 따라 달라진다

한 점의 응력 상태를 그리는 표준 방법이 응력 요소다. 그 점을 둘러싼 아주 작은 정사각형을 떠올리고, 네 면에 걸리는 응력을 화살표로 표시한다. 좌우 면에는 수평 방향의 수직응력이 있고, 위아래 면에는 세로 방향의 수직응력이 있으며, 면을 따라 미끄러뜨리는 전단응력이 있어요. 전단을 옮기면 전단 화살표가 네 면에 한꺼번에 나타나는 것이 보인다. 한 면에만 전단이 걸리는 일은 없다. 평형이 깨지기 때문이다. 언제나 짝을 이루어 네 면에 같이 오는 짝 전단이에요. 이 작은 요소 하나가 그 점의 응력 상태를 통째로 담고 있다. 세 숫자면 평면응력은 다 결정된다. 세 수가 한 점을 정한다.

이제 핵심이다. 같은 점을 보면서 요소만 비스듬히 돌려 본다. 각을 옮기면 정사각형이 회전하고, 새 면에 걸리는 수직응력 σ′ 과 전단응력 τ′ 이 함께 바뀌어요. 점은 그대로인데 면의 방향만 달라졌는데 응력이 달라지는 것이다. 처음에는 헷갈려도, 생각하면 당연하다. 같은 힘의 다발도 어느 방향의 면으로 자르느냐에 따라, 수직 성분과 평행 성분의 비율이 달라진다. 비스듬한 면일수록 힘이 면을 비껴 가니 전단이 커져요. 그래서 σ′ 과 τ′ 은 각도의 함수다. 한 점에 응력값이 하나가 아니라, 보는 각도마다 다른 한 세트가 있다. 그러면 자연히 묻게 된다. 어느 각도가 가장 위험한가. 면의 방향이 성분을 나눈다. 점이 같아도 면이 다르면 답이 다르다.

그 출렁임을 식으로 적으면 응력 변환식이다. σ′ = (σx+σy)2 + (σx−σy)2·cos2θ + τxy·sin2θ, 그리고 τ′ = −(σx−σy)2·sin2θ + τxy·cos2θ. 길어 보여도 핵심은 단순해요. 둘 다 2θ 의 사인과 코사인, 곧 매끈한 파동이다. 각을 옮기면 σ′ 곡선과 τ′ 곡선 위의 두 점이 함께 움직인다. 눈여겨볼 것이 둘 있어요. 첫째, 각이 아니라 2θ 가 들어가서 주기가 180도다. 요소를 180도 돌리면 제자리이니 당연하다. 둘째, σ′ 의 평균값 (σx+σy)2 는 각이 어떻든 변하지 않는다. 이 합은 회전해도 보존되는 양이에요. 이 두 곡선만 있으면, 위험한 각을 찾는 일은 곡선의 봉우리와 영점을 읽는 일이 된다.

요소를 돌리다 보면 전단응력 τ′ 이 딱 0이 되는 각이 나온다. 그 면을 주응력면이라 하고, 거기 걸리는 수직응력을 주응력이라 해요. 각을 옮겨 τ′ 을 0에 맞추면, 그 순간 요소의 전단 화살표가 사라지고 남은 것은 순수한 밀고 당김뿐이다. 바로 이 각에서 수직응력이 가장 커진다. 가장 큰 주응력 σ1 과 가장 작은 σ2 가 이 면들에서 나와요. 재료는 보통 이 최대 주응력의 방향에 수직으로 쪼개지기 때문이다. 분필을 비틀어 부러뜨리면 단면이 비스듬한 나선으로 갈라지는 것이, 주응력면을 따라간 것이다. 파손을 예측하려면 σ1 과 그 방향, 곧 주응력과 주각을 찾는 것이 첫 일이에요. 갈라지는 방향이 그 각이다.

이번엔 반대로, 전단응력이 가장 커지는 각을 찾는다. 각을 옮겨 τ′ 이 최대가 되는 곳을 더듬으면, 그것이 주응력면에서 정확히 45도 돌아간 자리다. 언제나 그렇다. 최대 전단면은 주응력면과 45도 차이예요. 그 최대 전단의 크기는 두 주응력 차이의 절반, τ_max = (σ1−σ2)2 다. 강철 같은 연성 재료는 수직응력보다 전단에 먼저 굴복하기 때문이다. 그래서 인장 시편을 당기면 매끈한 가로 단면이 아니라, 45도 기운 면을 따라 미끄러지며 늘어난다. 그 비스듬한 줄무늬가 최대 전단면을 따라간 흔적이에요. 정리하면 주응력면에는 전단이 0이고 수직응력이 극값이며, 거기서 45도 돌면 전단이 극값이다. 이 두 특별한 각이 응력 변환의 결론이다. 두 각이 변환의 결론이다.