응력 상태는 원, 요소 회전은 원 위 회전

먼저 응력 상태를 점으로 옮긴다. 가로축은 수직응력 σ, 세로축은 전단응력 τ 인 평면을 그리면, 한 면의 응력 (σ, τ) 가 이 평면의 점 하나가 된다. 응력요소의 x면은 (σx, τxy), 거기서 90도 돌아간 y면은 (σy, −τxy) 다. τxy 를 끌면 두 점이 위아래로 움직이는데, 잘 보면 둘은 항상 정반대편에 있어요. x면과 y면은 90도 차이인데 평면 위에서는 180도 반대편에 찍힌다. 벌써 2배가 나왔다. 이 두 점을 잇는 선분이 곧 원의 지름이 된다. 응력 상태를 숫자 묶음이 아니라 평면 위 위치로 보는 것, 이게 모어의 첫 번째 도약이에요.

이제 마법이 펼쳐진다. 요소를 조금씩 돌리면서 그때그때의 (σ′, τ′) 를 계속 찍어 본다. θ 를 끌면 점이 어디로 갈까요? 흩어지지 않고 정확히 하나의 원을 따라 돈다. 어떤 각도로 잘라 봐도 그 응력은 이 원 위 어딘가이고, 한 점의 모든 가능한 응력 상태가 이 원 하나에 다 담겨 있는 것이다. 원의 중심은 가로축 위, σ = (σx+σy)2 인 평균 자리예요. D1 에서 회전해도 변하지 않던 그 평균이 바로 중심이다. 원의 반지름은 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) 로, D2 의 그 R 이다. 복잡하게 출렁이던 변환식이 평균을 중심으로 반지름 R 인 원 하나로 압축됐다.

여기에 모어원의 한 가지 약속이 있다. 실제 요소를 θ 만큼 돌리면 원 위의 점은 그 두 배인 2θ 만큼 돈다는 것이다. 왼쪽 요소를 θ 돌리면 오른쪽 원 위 점은 2θ 만큼 움직여요. 왜 두 배일까. 변환식이 전부 2θ 의 함수였기 때문이다. 그 2θ 가 원 위에서는 진짜 회전 각도가 된다. 이 약속만 지키면 모어원은 그냥 각도기예요. 어떤 면의 응력을 알고 싶으면 그 면이 x면에서 몇 도 돌아갔는지 보고, 원 위에서 그 두 배만큼 돌린 점을 읽으면 끝이다. 부호도 사인·코사인도 외울 필요가 없다. 회전이 회전으로 눈에 보이니까.

이제 원에서 답을 읽는다. 먼저 주응력이다. 원이 가로축, 즉 τ=0 선과 만나는 데가 두 곳 있다. 원의 맨 오른쪽 끝과 맨 왼쪽 끝인데, 거기서는 전단이 0 이니까 그게 바로 주응력면이에요. 오른쪽 끝의 σ 값이 최대 주응력 σ1, 왼쪽 끝이 최소 σ2. 그리고 중심이 평균이고 반지름이 R 이니까 당연히 σ1 = 평균 + R, σ2 = 평균 − R 이다. D2 에서 공식으로 외웠던 게 그림에선 그냥 원의 양 끝이다. θ 를 끌어 점을 끝에 맞추면 점이 가로축에 닿는 순간 전단이 사라져요. 주응력을 구한다는 건 원에서 가장 멀리 좌우로 뻗은 두 점을 찍는 것뿐이다.

마지막은 최대 전단이다. 원에서 τ 가 가장 큰 곳은 당연히 원의 꼭대기이고, 거기까지의 높이가 바로 반지름 R 이다. 그러니 최대 전단응력 τ_max = R. D2 에서 τ_max = (σ1−σ2)2 라고 했는데, σ1−σ2 가 지름이니까 그 절반이 반지름이라 똑같은 말이에요. 그림에서는 그냥 원의 반지름을 재면 끝이다. 그리고 꼭대기는 양 끝인 주응력에서 원을 따라 90도 떨어져 있다. 원에서 90도면 실제 요소로는 그 절반인 45도, D2 의 그 45도가 여기서 자동으로 나온다. θ 를 끌어 점을 꼭대기에 올려 보면 그 관계가 그대로 보여요. 정리하면 한 점의 응력 상태는 원 하나고, 주응력은 좌우 끝, 최대 전단은 위아래 끝, 요소 회전은 원 위 2배 회전이다. 모어원은 응력 변환을 통째로 한 장의 그림으로 바꾼 도구다.