응력 상태는 원, 요소 회전은 원 위 회전

먼저 응력 상태를 점으로 옮긴다. 가로축은 수직응력, 세로축은 전단응력인 평면에서, 한 면의 응력 한 쌍이 점 하나가 된다. 요소의 x면은 (σx, τxy) 이고, 거기서 90도 돌아간 y면은 (σy, −τxy) 다. 전단을 옮기면 두 점이 위아래로 움직이는데, 둘은 언제나 정반대편에 있어요. x면과 y면은 요소에서 90도 차이인데, 평면 위에서는 180도 반대편에 찍힌다. 벌써 2배가 나왔다. 이 두 점을 잇는 선분이 원의 지름이 된다. 숫자 묶음이 아니라 평면 위의 위치로 보는 것, 이것이 모어의 첫 도약이에요. 두 점이 지름을 정한다. 위치가 원의 지름을 정한다.

이제 요소를 조금씩 돌리며 그때의 (σ′, τ′) 를 계속 찍는다. 각을 옮기면 점이 어디로 갈까요. 흩어지지 않고 하나의 원을 따라 돈다. 어느 각으로 잘라도 그 응력은 이 원 위 어딘가이고, 한 점에서 가능한 응력 상태가 이 원 하나에 다 담긴다. 원의 중심은 가로축 위, σ = (σx+σy)2 인 평균 자리예요. D1 에서 회전해도 변하지 않던 그 평균이 바로 중심이다. 반지름은 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) 로, D2 의 그 R 이다. 출렁이던 변환식이 평균을 중심으로 반지름 R 인 원 하나로 모였다. 원이 식을 대신한다. 평균이 중심을 붙들고 반지름이 크기를 정한다.

모어원에는 약속이 하나 있다. 실제 요소를 어느 각만큼 돌리면, 원 위의 점은 그 두 배인 2θ 만큼 돈다. 왼쪽 요소를 돌리면 오른쪽 원 위의 점은 2θ 만큼 움직여요. 두 배인 까닭은 변환식이 전부 2θ 의 함수였기 때문이다. 그 2θ 가 원 위에서는 진짜 회전 각이 된다. 이 약속만 지키면 모어원은 각도기예요. 어떤 면의 응력을 알고 싶으면, 그 면이 x면에서 얼마나 돌아갔는지 보고, 원 위에서 그 두 배만큼 돌린 점을 읽으면 된다. 부호도 사인도 외울 필요가 없어요. 회전이 회전으로 눈에 보이기 때문이다. 각의 두 배가 원의 각이다.

이제 원에서 답을 읽는다. 주응력부터 보자. 원이 가로축, 곧 τ=0 인 선과 만나는 곳이 둘 있다. 원의 오른쪽 끝과 왼쪽 끝인데, 거기서는 전단이 0 이니 그 면이 주응력면이에요. 오른쪽 끝의 수직응력이 최대 주응력 σ1 이고, 왼쪽 끝이 최소 σ2 다. 중심이 평균이고 반지름이 R 이니, σ1 = 평균 + R 이고 σ2 = 평균 − R 이다. D2 에서 공식으로 외우던 것이 그림에서는 원의 양 끝이다. 점을 끝에 맞추면 가로축에 닿는 순간 전단이 사라져요. 주응력을 구한다는 것은 원에서 좌우로 가장 멀리 뻗은 두 점을 찍는 일이다. 양 끝이 두 주응력이다. 끝이 답이다.

마지막은 최대 전단이다. 원에서 전단이 가장 큰 곳은 원의 꼭대기이고, 그 높이가 바로 반지름 R 이다. 그래서 최대 전단응력 τ_max = R 다. D2 에서 τ_max = (σ1−σ2)2 라고 했는데, σ1−σ2 가 지름이라 그 절반이 반지름이라 같은 말이에요. 그림에서는 원의 반지름을 재면 된다. 꼭대기는 양 끝의 주응력에서 원을 따라 90도 떨어져 있다. 원에서 90도는 실제 요소로 그 절반인 45도이고, D2 의 그 45도가 여기서 저절로 나온다. 점을 꼭대기에 올리면 그 관계가 그대로 보여요. 정리하면 한 점의 응력 상태는 원 하나이고, 주응력은 좌우 끝이며, 최대 전단은 위아래 끝이고, 요소의 회전은 원 위의 2배 회전이다. 모어원은 응력 변환을 한 장의 그림으로 바꾼 도구다. 그림 하나가 식을 대신한다. 반지름이 그 답이다.