가는 기둥은 부서지기 전에 휜다

먼저 곧게 선 기둥을 그냥 눌러 봐요. P 를 끌어 보세요. 임계점에 닿기 전까지 기둥은 곧게 선 채로 그저 길이만 아주 조금 줄어들어요. 이건 우리가 B1 에서 본 축방향 압축이에요. δ = PLAE 만큼 짧아질 뿐, 옆으로 휘지는 않아요. 단면의 응력도 σ = PA 로 균일하고, 아직 항복 근처에도 못 갔어요. 짧고 굵은 기둥이라면 이대로 응력이 항복에 닿을 때까지 곧게 버티다가 으스러질 거예요. 좌굴은 일어나지 않아요. 그러니까 압축 자체는 좌굴이 아니에요. 좌굴은 압축을 받은 곧은 기둥이, 어느 하중을 넘는 순간 곧음을 포기하고 옆으로 도망가는 사건이에요. 그 문턱이 어디인지가 다음 질문이에요.

이제 하중을 임계값 너머로 밀어 봐요. P 를 끌어서 P_cr 를 넘겨 보세요. 넘는 순간 무슨 일이 벌어지나요? 곧던 기둥이 갑자기 옆으로 활처럼 휘어요. 그리고 P 를 조금만 더 올려도 휨 δ 가 빠르게 커져요. 이게 분기라는 거예요. P_cr 아래에선 곧은 모양이 유일하고 안정한 답이지만, P_cr 을 넘으면 곧은 모양은 불안정해지고, 휘어진 모양이 새로 나타나요. 마치 갈림길처럼요. 왜 갑자기일까요? 기둥이 살짝 휘면 하중 P 가 그 휜 거리만큼 굽힘 모멘트를 만들고, 그 모멘트가 기둥을 더 휘게 하고, 더 휘면 모멘트가 더 커지고. 이 되먹임이 재료의 복원력을 이기는 순간이 바로 P_cr 이에요. 응력이 한계에 닿아서가 아니라, 모양의 안정성이 무너져서 무너지는 거예요.

그 임계하중이 바로 오일러의 식이에요. 핀으로 양 끝을 받친 기둥이면 P_cr = π²EIL². 여기서 EI 는 굽힘 강성이에요. E 는 재료의 탄성계수, I 는 단면 이차모멘트, B3 에서 본 그 I 예요. 기둥이 휨에 얼마나 버티느냐를 EI 가 말해 줘요. 그런데 분모에 L² 이 있는 게 핵심이에요. L 을 끌어 보세요. 길이를 두 배로 늘리면 P_cr 이 네 배로 줄어요. 길이가 좌굴 강도를 제곱으로 깎아 먹는 거예요. 그래서 똑같은 단면이라도 긴 기둥은 형편없이 약해요. 또 하나, 이 식에 항복강도나 극한강도 같은 재료의 세기가 전혀 안 들어가요. 오직 강성과 길이뿐. 좌굴은 강도의 문제가 아니라 강성과 형상의 문제라는 걸, 이 식이 못 박아 말해 줘요.

그럼 어떤 기둥이 항복으로 죽고, 어떤 기둥이 좌굴로 죽을까요? 그걸 가르는 한 숫자가 세장비 λ = KLr 이에요. 여기서 r 은 회전반지름, r = √(I/A) 로 단면이 얼마나 효율적으로 퍼져 있는지를 재요. 임계응력으로 다시 쓰면 σ_cr = π²Eλ² 가 돼요. λ 를 끌어 보세요. λ 가 크면, 즉 길고 가늘면 σ_cr 이 아주 낮아서 항복에 닿기도 전에 좌굴로 무너져요. 반대로 λ 가 작으면, 짧고 굵으면 σ_cr 이 항복강도보다 높아서 좌굴 전에 먼저 항복해요. 두 곡선이 만나는 전이 세장비 λ₁ = π√(E/σ_y) 가 경계예요. 그래서 설계할 때 기둥을 보면 먼저 세장비부터 따져요. 긴 기둥이냐 짧은 기둥이냐에 따라 지배하는 한계가 완전히 달라지니까요.

마지막으로 양 끝을 어떻게 잡느냐가 강도를 크게 바꿔요. 오일러 식의 K 가 그걸 담아요. 단부 조건을 골라 보세요. 핀-핀이면 K=1 이고, 이게 기준이에요. 한쪽을 완전히 고정하고 반대쪽을 자유롭게 두면(깃대처럼) K=2 로, 같은 길이라도 P_cr 이 1/4 로 떨어져요. 가장 약한 경우죠. 반대로 양 끝을 다 단단히 고정하면 K=0.5 로, P_cr 이 네 배로 뛰어요. 고정-핀은 그 중간인 K≈0.7. K 의 의미는 유효길이예요. 실제 길이 L 에 K 를 곱한 KL 이, 핀-핀 기둥으로 환산했을 때의 길이거든요. P_cr = π²EI(KL)² 에서 K 가 제곱으로 들어가니까, 끝을 잘 잡는 것만으로 좌굴 강도를 몇 배씩 바꿀 수 있어요. 그래서 기둥 설계는 단면뿐 아니라 양 끝의 연결을 함께 봐야 해요.