굽히면 응력이 깊이에 선형, σ=My/I
책장 선반이 책 무게에 살짝 처지고, 다이빙 보드가 사람을 태우면 휜다. 이게 굽힘이다. 당기지도 비틀지도 않고 가로로 휘는 것이에요. 굽은 보 안에서는 흥미로운 일이 생긴다. 위쪽 섬유는 짧아져 눌리는 압축이 되고, 아래쪽 섬유는 늘어나 당겨지는 인장이 된다. 그 사이 어딘가 늘지도 줄지도 않는 면이 있는데 그걸 중립축이라 해요. 응력은 중립축에서 0이고 멀어질수록 선형으로 커진다. 이걸 한 줄로 묶은 게 σ = MyI 다. 비틀림이 반지름에 선형이었다면 굽힘은 깊이에 선형이에요. 그리고 이 식이 왜 보를 납작하게 말고 세워서 쓰는지를 설명해 준다.
먼저 굽은 보 안에서 무슨 일이 벌어지는지 본다. 곡률을 끌어 보를 휘어 본다. 보를 가느다란 섬유 다발이라고 생각하면 좋아요. 보가 아래로 처지면 위쪽 섬유가 안쪽이 되어 둘레가 짧아지니 눌리고, 아래쪽 섬유는 바깥이 되어 늘어난다. 위젯에서 위는 파랑인 압축, 아래는 빨강인 인장으로 갈리는 게 보인다. 한 부재 안에 압축과 인장이 동시에 있는 것이에요. 그리고 그 경계에 아무 일도 안 일어나는 줄이 하나 있다.
그 아무 일도 안 일어나는 줄이 중립축이다. 늘지도 줄지도 않으니 변형률이 0, 따라서 응력도 0이에요. 그럼 거기서 멀어지면 어떻게 될까. 위쪽으로 갈수록 더 많이 눌리고 아래쪽으로 갈수록 더 많이 늘어나는데, 그것도 딱 거리에 비례해서 그렇다. 탐침을 끌어 깊이를 바꾸면 중립축에서 두 배 멀 때 응력도 두 배가 돼요. 그래서 응력 분포가 가운데가 0이고 위아래로 갈수록 쫙 벌어지는 나비넥타이 모양이 된다. 핵심은 응력이 깊이 y 에 선형이라는 점이다. 비틀림에서 반지름에 선형이었던 것과 똑같은 구조이고, 가장 바깥 섬유가 가장 위험하다는 뜻이에요.
이제 그 분포를 식으로 적는다. σ = MyI. M 은 굽힘 모멘트로 보를 얼마나 세게 휘려는지이고, y 는 중립축에서의 거리라 응력이 y 에 비례하는 게 여기 들어 있어요. I 는 단면 이차모멘트로, 비틀림의 J 자리에 오는 기하 값이다. M 을 끌면 분포 전체가 비례해서 커지고 가장 먼 섬유 y=c 에서 σ 가 최대가 된다. σmax = McI. 인장의 σ = PA 와 비교하면 차이가 분명해요. 인장은 단면 어디나 같은 응력이지만 굽힘은 위치 y 가 들어가서 바깥일수록 커진다. 그래서 같은 단면이라도 굽힘에선 가장자리부터 항복한다.
여기서 I 가 무엇인지 제대로 본다. I = ∫y²dA, 각 면적 조각에 중립축까지 거리의 제곱을 곱해 다 더한 것이다. 거리의 제곱이 들어가니 중립축에서 먼 재료가 어마어마하게 큰 가중치를 받아요. 그래서 단면이 깊을수록 I 가 폭발적으로 커진다. 직사각형이면 I = bh³12, 높이의 세제곱이다. 위젯에서 단면적은 그대로 두고 높이만 끌면 같은 재료 양인데도 세울수록 I 가 쭉쭉 올라가요. 이게 보를 납작하게 말고 세워서 쓰는 이유다. 또 I빔이 가운데를 얇게 비우고 위아래로 살을 몰아 둔 이유이기도 하다. 정작 일하는 건 중립축에서 먼 재료이기 때문이에요.
실무에선 σmax 만 보면 될 때가 많다. 그래서 I 와 가장 먼 거리 c 를 하나로 묶은 단면계수 S = Ic 를 쓴다. 그러면 σmax = McI 가 깔끔하게 σmax = MS 가 돼요. S 하나가 그 단면의 굽힘 강도를 통째로 말해 주는 셈이다. S 가 클수록 같은 모멘트에도 응력이 낮다. 높이를 끌면 단면적이 같아도 깊은 단면이 S 가 커서 σmax 가 떨어져요. 그래서 강재 카탈로그를 보면 부재마다 S 값이 적혀 있다. 설계자는 받을 모멘트 M 을 허용응력으로 나눠 필요한 S 를 구하고, 그 S 를 넘는 가장 가벼운 단면을 고른다. 굽힘 설계가 사실상 이 한 줄로 돌아가요.