굽히면 응력이 깊이에 선형, σ=My/I
책장 선반이 책 무게에 살짝 처지고, 다이빙 보드가 사람을 태우면 휘어요. 이게 굽힘이에요. 당기지도 비틀지도 않고, 가로로 휘는 거죠. 굽은 보 안에서는 흥미로운 일이 생겨요. 위쪽 섬유는 짧아져 눌리고(압축), 아래쪽 섬유는 늘어나 당겨져요(인장). 그 사이 어딘가, 늘지도 줄지도 않는 면이 있는데 그걸 중립축이라 해요. 응력은 중립축에서 0이고, 멀어질수록 선형으로 커져요. 이걸 한 줄로 묶은 게 σ = MyI 예요. 비틀림이 반지름에 선형이었다면, 굽힘은 깊이에 선형이에요. 그리고 이 식이 왜 보를 납작하게 말고 세워서 쓰는지를 설명해 줘요.
먼저 굽은 보 안에서 무슨 일이 벌어지는지 봐요. 곡률을 끌어 보를 휘어 보세요. 보를 가느다란 섬유 다발이라고 생각하면 좋아요. 위로 볼록하게 휘면, 바깥쪽 즉 위쪽 섬유는 둘레가 길어져야 하니 늘어나고, 안쪽 즉 아래쪽 섬유는 짧아져요. 잠깐, 거꾸로예요. 보가 아래로 처지면 위쪽이 안쪽이 되어 짧아지고(압축), 아래쪽이 바깥이 되어 늘어나요(인장). 위젯에서 위는 파랑(압축), 아래는 빨강(인장)으로 갈리는 게 보이죠. 한 부재 안에 압축과 인장이 동시에 있는 거예요. 그리고 그 경계에 아무 일도 안 일어나는 줄이 하나 있어요.
그 아무 일도 안 일어나는 줄이 중립축이에요. 늘지도 줄지도 않으니 변형률이 0, 따라서 응력도 0이에요. 그럼 거기서 멀어지면? 위쪽으로 갈수록 더 많이 눌리고, 아래쪽으로 갈수록 더 많이 늘어나요. 그것도 딱 거리에 비례해서요. 탐침을 끌어 깊이를 바꿔 보세요. 중립축에서 두 배 멀면 응력도 두 배예요. 그래서 응력 분포가 나비넥타이 모양이 돼요. 가운데가 0이고 위아래로 갈수록 쫙 벌어지는. 핵심은 응력이 깊이 y 에 선형이라는 거예요. 비틀림에서 반지름에 선형이었던 거랑 똑같은 구조죠. 가장 바깥 섬유가 가장 위험하다는 뜻이고요.
이제 그 분포를 식으로 적어요. σ = MyI. M 은 굽힘 모멘트로, 보를 얼마나 세게 휘려는지예요. y 는 중립축에서의 거리고, 응력이 y 에 비례하는 게 여기 들어 있어요. I 는 단면 이차모멘트로, 비틀림의 J 자리에 오는 기하 값이에요. M 을 끌어 보세요. 분포 전체가 비례해서 커지고, 가장 먼 섬유 y=c 에서 σ 가 최대가 되죠. σmax = McI. 인장의 σ = PA 와 비교하면 차이가 분명해요. 인장은 단면 어디나 같은 응력이지만, 굽힘은 위치 y 가 들어가서 바깥일수록 커져요. 그래서 같은 단면이라도 굽힘에선 가장자리부터 항복해요.
여기서 I 가 무엇인지 제대로 봐요. I = ∫y²dA, 각 면적 조각에 중립축까지 거리의 제곱을 곱해 다 더한 거예요. 거리의 제곱이 들어가니, 중립축에서 먼 재료가 어마어마하게 큰 가중치를 받아요. 그래서 단면이 깊을수록 I 가 폭발적으로 커져요. 직사각형이면 I = bh³12, 높이의 세제곱이에요. 위젯에서 단면적은 그대로 두고 높이만 끌어 보세요. 같은 재료 양인데도 세울수록 I 가 쭉쭉 올라가죠. 이게 보를 납작하게 말고 세워서 쓰는 이유예요. 또 I빔이 가운데를 얇게 비우고 위아래로 살을 몰아 둔 이유고요. 정작 일하는 건 중립축에서 먼 재료거든요.
실무에선 σmax 만 보면 될 때가 많아요. 그래서 I 와 가장 먼 거리 c 를 하나로 묶은 단면계수 S = Ic 를 써요. 그러면 σmax = McI 가 깔끔하게 σmax = MS 가 돼요. S 하나가 그 단면의 굽힘 강도를 통째로 말해 주는 셈이죠. S 가 클수록 같은 모멘트에도 응력이 낮아요. 높이를 끌어 보세요. 단면적이 같아도 깊은 단면이 S 가 커서 σmax 가 떨어지죠. 그래서 강재 카탈로그를 보면 부재마다 S 값이 적혀 있어요. 설계자는 받을 모멘트 M 을 허용응력으로 나눠 필요한 S 를 구하고, 그 S 를 넘는 가장 가벼운 단면을 골라요. 굽힘 설계가 사실상 이 한 줄로 돌아가요.