처짐은 곡률 M/EI를 두 번 적분한 것
지금까지 보가 안 부러지는지, 곧 강도를 따졌다. 그런데 안 부러진다고 다가 아니에요. 다이빙 보드가 너무 출렁이거나 바닥 보가 눈에 띄게 처지면 부서지지 않아도 못 쓴다. 그래서 보가 실제로 얼마나 휘는지, 강성을 따져야 한다. 그 휜 모양을 처짐곡선이라 하고, 그걸 구하는 길은 의외로 단순해요. B3 에서 봤듯 보가 휘는 정도인 곡률은 그 자리의 모멘트에 비례하고 굽힘강성에 반비례한다. 곡률 = MEI 다. 곡률은 처짐을 두 번 미분한 것이니, 거꾸로 MEI 를 두 번 적분하면 처짐이 나와요. 적분하면 상수가 생기는데 그건 받침이 주는 경계조건이 정해 준다. 그리고 여러 하중이 같이 걸리면 그냥 따로 풀어 더하면 된다.
먼저 처짐 자체를 본다. 한쪽이 고정된 외팔보의 끝을 누르면 보가 아래로 휘면서 부드러운 곡선을 그려요. 이게 처짐곡선 y(x), 각 위치가 원래 자리에서 얼마나 내려갔는지를 나타낸다. 끝을 더 세게 누를수록 더 깊이 처진다. 탄성역 안에서는 처짐도 하중에 정비례하는데, 후크의 법칙이 여기까지 따라온 것이에요. 외팔보 끝하중이면 끝 처짐이 δ = PL³(3EI) 다. 여기서 눈여겨볼 건 L³ 이다. 길이가 두 배면 처짐은 여덟 배다. 그래서 긴 보가 훨씬 많이 처지고, 처짐 문제에선 길이가 제일 무서운 변수예요.
처짐의 정체를 한 꺼풀 벗긴다. 휜 보의 한 조각만 떼어 보면 그건 작은 원호처럼 휘어 있다. 얼마나 휘었는지를 곡률 κ 라 하고, 반지름 R 의 역수다. 핵심 관계가 여기 있어요. κ = MEI. 그 자리의 굽힘 모멘트 M 이 클수록 더 휘고, 굽힘강성 EI 가 클수록 덜 휜다. M 을 끌면 모멘트가 커질 때 조각이 더 동그랗게 말려요. EI 는 단면이 깊고 재료가 단단할수록 커지는데, 같은 모멘트라도 EI 가 크면 거의 안 휜다. 강도에선 단면계수 S 가 주인공이었다면 강성에선 EI 가 주인공이다. 그리고 곡률이야말로 처짐의 씨앗이라, 자리마다 정해진 이 작은 휨들이 쌓여 전체 처짐곡선이 된다.
이제 작은 곡률들을 처짐으로 쌓아 올린다. 수학으로는 곡률이 처짐 y 를 두 번 미분한 것이다. EI·y″ = M. 그러니 거꾸로 가면 돼요. MEI 를 한 번 적분하면 보의 기울기 y′ 가 나오고, 한 번 더 적분하면 처짐 y 가 나온다. 외팔보 끝하중을 보면 모멘트는 위치에 따라 선형이라 MEI 도 선형, 한 번 적분한 기울기는 포물선, 또 적분한 처짐은 3차 곡선이다. P 를 끌면 세 곡선이 함께 자라며 차수가 적분할 때마다 하나씩 올라가는 게 보여요. 이 두 번 적분이 처짐 해석의 엔진이다. 모멘트 선도만 있으면 적분 두 번으로 보가 어떤 모양으로 휘는지 통째로 얻는다.
적분에는 함정이 하나 있다. 적분할 때마다 모르는 상수가 하나씩 붙어서, 두 번 적분했으니 상수가 둘이다. 이 둘을 정하지 않으면 처짐곡선이 위아래로 떠다니거나 통째로 기울어 버려요. 이 상수들을 못 박는 게 경계조건, 곧 받침이 주는 사실들이다. 외팔보라면 고정단에서 처짐도 0 이고 기울기도 0 이다. 벽에 콱 물려 있기 때문이다. 그 두 조건이 상수 둘을 딱 정한다. 단순지지보라면 대신 양 끝에서 처짐이 0 이에요. 버튼으로 받침을 바꾸면 똑같은 하중인데도 처짐 모양이 완전히 달라진다. 곡률 분포가 같아도 경계조건이 다르면 결과가 다르다. 그래서 보 문제에선 받침이 무엇인지가 절반이에요.
마지막으로 실무를 아주 편하게 해 주는 선물이 있다. 모든 게 선형이니 처짐도 더하기가 된다. 보에 하중이 여러 개 걸려 있으면 각 하중이 혼자 만드는 처짐을 따로따로 구한 다음 그냥 더하면 끝이에요. 이걸 중첩이라 한다. 버튼으로 하중 A 만, B 만, 둘 다를 바꿔 보면 둘 다 걸었을 때 처짐이 A 혼자 처짐과 B 혼자 처짐을 더한 것과 정확히 같다. 그래서 복잡한 하중도 겁낼 필요가 없어요. 교과서 뒤에 외팔보 끝하중, 등분포하중, 가운데 집중하중 같은 기본 케이스별 처짐 공식이 표로 다 정리돼 있고, 실제 문제는 그 표를 꺼내 더하기만 하면 풀린다. 처짐 해석이 결국 적분 두 번과 더하기로 돌아가는 것이다.