처짐은 곡률 M/EI를 두 번 적분한 것
지금까지 보가 안 부러지는지, 즉 강도를 따졌어요. 그런데 안 부러진다고 다가 아니에요. 다이빙 보드가 너무 출렁이거나, 바닥 보가 눈에 띄게 처지면 부서지지 않아도 못 쓰죠. 그래서 보가 실제로 얼마나 휘는지, 강성을 따져야 해요. 그 휜 모양을 처짐곡선이라 하고, 그걸 구하는 길은 의외로 단순해요. B3 에서 봤듯 보가 휘는 정도, 즉 곡률은 그 자리의 모멘트에 비례하고 굽힘강성에 반비례해요. 곡률 = MEI. 곡률은 처짐을 두 번 미분한 거니까, 거꾸로 MEI 를 두 번 적분하면 처짐이 나와요. 적분하면 상수가 생기는데, 그건 받침이 주는 경계조건이 정해 줘요. 그리고 여러 하중이 같이 걸리면 그냥 따로 풀어 더하면 돼요.
먼저 처짐 자체를 봐요. 한쪽이 고정된 외팔보의 끝을 눌러 보세요. 보가 아래로 휘면서 부드러운 곡선을 그리죠. 이게 처짐곡선 y(x), 각 위치가 원래 자리에서 얼마나 내려갔는지를 나타내요. 끝을 더 세게 누를수록 더 깊이 처지고요. 탄성역 안에서는 처짐도 하중에 정비례해요. 후크의 법칙이 여기까지 따라온 거죠. 외팔보 끝하중이면 끝 처짐이 δ = PL³(3EI) 예요. 여기서 눈여겨볼 건 L³ 이에요. 길이가 두 배면 처짐은 여덟 배. 그래서 긴 보가 훨씬 많이 처지고, 처짐 문제에선 길이가 제일 무서운 변수예요.
처짐의 정체를 한 꺼풀 벗겨요. 휜 보의 한 조각만 떼어 보면, 그건 작은 원호처럼 휘어 있어요. 얼마나 휘었는지를 곡률 κ 라 하고, 반지름 R 의 역수예요. 핵심 관계가 여기 있어요. κ = MEI. 그 자리의 굽힘 모멘트 M 이 클수록 더 휘고, 굽힘강성 EI 가 클수록 덜 휘어요. M 을 끌어 보세요. 모멘트가 커지면 조각이 더 동그랗게 말리죠. EI 는 단면이 깊고 재료가 단단할수록 커지는데, 같은 모멘트라도 EI 가 크면 거의 안 휘어요. 강도에선 단면계수 S 가 주인공이었다면, 강성에선 EI 가 주인공이에요. 그리고 곡률이야말로 처짐의 씨앗이에요. 자리마다 정해진 이 작은 휨들이 쌓여 전체 처짐곡선이 돼요.
이제 작은 곡률들을 처짐으로 쌓아 올려요. 수학으로는 곡률이 처짐 y 를 두 번 미분한 거예요. EI·y″ = M. 그러니 거꾸로 가면 돼요. MEI 를 한 번 적분하면 보의 기울기 y′ 가 나오고, 한 번 더 적분하면 처짐 y 가 나와요. 외팔보 끝하중을 보면, 모멘트는 위치에 따라 선형이라 MEI 도 선형, 한 번 적분한 기울기는 포물선, 또 적분한 처짐은 3차 곡선이에요. P 를 끌면 세 곡선이 함께 자라죠. 차수가 적분할 때마다 하나씩 올라가는 게 보여요. 이 두 번 적분이 처짐 해석의 엔진이에요. 모멘트 선도만 있으면, 적분 두 번으로 보가 어떤 모양으로 휘는지 통째로 얻어요.
적분에는 함정이 하나 있어요. 적분할 때마다 모르는 상수가 하나씩 붙어요. 두 번 적분했으니 상수가 둘. 이 둘을 정하지 않으면 처짐곡선이 위아래로 떠다니거나 통째로 기울어 버려요. 이 상수들을 못 박는 게 경계조건이에요. 받침이 주는 사실들이죠. 외팔보라면 고정단에서 처짐도 0 이고 기울기도 0 이에요. 벽에 콱 물려 있으니까요. 그 두 조건이 상수 둘을 딱 정해요. 단순지지보라면 대신 양 끝에서 처짐이 0 이고요. 버튼으로 받침을 바꿔 보세요. 똑같은 하중인데도 처짐 모양이 완전히 달라지죠. 곡률 분포가 같아도, 경계조건이 다르면 결과가 달라요. 그래서 보 문제에선 받침이 무엇인지가 절반이에요.
마지막으로 실무를 아주 편하게 해주는 선물이 있어요. 모든 게 선형이니까, 처짐도 더하기가 돼요. 보에 하중이 여러 개 걸려 있으면, 각 하중이 혼자 만드는 처짐을 따로따로 구한 다음 그냥 더하면 끝이에요. 이걸 중첩이라 해요. 버튼으로 하중 A 만, B 만, 둘 다를 바꿔 보세요. 둘 다 걸었을 때 처짐이, A 혼자 처짐과 B 혼자 처짐을 더한 것과 정확히 같죠. 그래서 복잡한 하중도 겁낼 필요 없어요. 교과서 뒤에 외팔보 끝하중, 등분포하중, 가운데 집중하중 같은 기본 케이스별 처짐 공식이 표로 다 정리돼 있고, 실제 문제는 그 표를 꺼내 더하기만 하면 풀려요. 처짐 해석이 결국 적분 두 번과 더하기로 돌아가는 거예요.