축을 당기면 δ=PL/AE만큼 늘어난다
앞에서 한 점의 응력 σ 와 변형률 ε 을 봤어요. 그런데 실무에서 정작 궁금한 건, 이 막대가 통째로 얼마나 늘어나느냐예요. 케이블이 몇 mm 처지는지, 기둥이 얼마나 가라앉는지 같은 거죠. 그 늘음을 δ 라고 해요. 놀랍게도 δ 는 딱 네 가지로 정해져요. 얼마나 세게 당기는가(P), 막대가 얼마나 긴가(L), 얼마나 굵은가(A), 무슨 재료인가(E). 이걸 한 줄로 묶으면 δ = PLAE 예요. 재료역학에서 가장 많이 쓰는 공식 중 하나죠. 그리고 이 식을 뒤집어 보면, 막대가 사실은 강성 k = AEL 짜리 스프링이었다는 게 드러나요.
먼저 당김과 늘음의 관계부터 봐요. P 를 끌어 막대를 당기면, 끝이 δ 만큼 나아가요. 두 배로 세게 당기면 δ 도 두 배가 되죠. 옆의 작은 그래프를 보면 P 와 δ 가 곧은 직선으로 이어져요. 정비례예요. 이건 사실 앞에서 본 후크의 법칙 σ = E·ε 를 막대 전체로 키운 거예요. 응력이 변형률에 비례했으니, 힘은 늘음에 비례하죠. 탄성역 안에서는 항상 이렇게 깔끔한 직선이에요. 그래서 절반만큼 당겼을 때 늘음을 재 두면, 두 배 당겼을 때 늘음도 바로 알 수 있어요.
이제 늘음이 정확히 무엇으로 정해지는지 봐요. δ = PLAE. 네 글자를 하나씩 뜯어보면 다 말이 돼요. P 가 크면 더 늘고, L 이 길면 더 늘고, A 가 굵으면 덜 늘고, E 가 단단하면 덜 늘어요. 여기선 길이 L 만 끌어 봐요. P, A, E 는 그대로 두고 막대만 길게 하면, 늘음 δ 가 비례해서 커지죠. 왜 그럴까요? 1m 막대가 1mm 늘어난다면, 그건 1m 마다 1mm 씩 늘어난다는 뜻이에요. 그러니 2m 면 2mm, 3m 면 3mm. 같은 변형률이라도 길이가 길면 절대 늘음이 쌓이는 거예요. A2 에서 본 변형률과 길이의 관계가 여기 그대로 들어 있어요.
이번엔 분모예요. δ = PLAE 에서 A 와 E 는 아래에 있으니, 크면 클수록 늘음을 줄여요. 단면적 A 를 끌어 굵게 해 보세요. 같은 힘이 더 넓은 단면으로 퍼지니, 응력이 낮아지고 늘음도 줄어요. 재료 버튼으로 E 도 바꿔 보세요. 강철은 거의 안 늘고, 알루미늄은 좀 더 늘고, 나무는 훨씬 많이 늘죠. 곱 A·E 를 그 막대의 강성이라고 생각하면 좋아요. 굵고 단단할수록 강성이 커서 같은 힘에도 꿈쩍을 덜 해요. 다리 케이블에 가는 실 대신 굵은 강선을 쓰는 이유가 바로 이 분모에 있어요.
실제 부재는 굵기가 한결같지 않아요. 계단처럼 단면이 바뀌는 막대를 생각해 봐요. 같은 힘 P 가 모든 구간을 똑같이 관통하지만, 구간마다 굵기가 다르니 늘음도 달라요. 전체 늘음은 그냥 각 구간 늘음을 다 더한 거예요. δ = Σ PLAE, 구간별로 계산해서 합치는 거죠. P 를 끌어 보세요. 가장 가는 구간이 가장 빨갛게, 가장 많이 늘어나는 게 보일 거예요. 같은 힘인데도 단면이 좁은 곳에서 변형이 몰리거든요. 그래서 부재를 설계할 때, 가장 약한 구간 하나가 전체 거동을 좌우해요. 사슬은 가장 약한 고리에서 끊어지는 것처럼요.
마지막으로 δ = PLAE 를 뒤집어 봐요. P = (AEL)·δ 로 쓰면, 이건 정확히 스프링의 법칙 F = kδ 와 같은 모양이에요. 그러니까 축 부재는 강성 k = AEL 인 스프링인 거예요. P 를 끌면 스프링이 늘고, δ = Pk 로 따라오죠. k 가 크면 단단한 스프링이라 잘 안 늘고, k 가 작으면 물렁해서 쑥 늘어요. 이 관점이 강력한 건, 복잡한 구조를 스프링 여러 개로 바꿔 풀 수 있기 때문이에요. 직렬로 이으면 강성이 합쳐지고, 병렬로 두면 또 다르게 합쳐지죠. 막대를 스프링으로 보는 순간, 구조해석이 익숙한 스프링 문제로 바뀌어요.