에너지는 운동과 위치 사이를 끝없이 오간다
추가 왔다 갔다 하는 걸 보면서 양쪽 끝 두 지점을 자세히 본다. 그 순간 추는 딱 멈추는데, 바로 그때가 스프링이 가장 많이 늘어난 때예요. 이제 중심을 본다. 추는 거기서 절대 멈추지 않고 가장 빠르게 지나가는데, 스프링은 완전히 풀려서 아무것도 담고 있지 않아요. 그럼 양끝에서 움직임이 멈출 때 에너지는 어디로 갔을까요? 아무 데도 안 갔고, 형태만 바뀐 것이다. 양끝에서는 전부 늘어난 스프링에 저장돼 있고, 중심에서는 전부 내달리는 추가 들고 있어요. 왔다 갔다 하면서 같은 에너지가 한 형태에서 다른 형태로, 다시 거꾸로 끝없이 건네지고, 마찰이 없으면 그 합은 절대 변하지 않는다. 그네 타는 아이는 공식 없이도 이걸 몸으로 알아요. 가장 높은 곳에서 한 박자 멈췄다가 가장 낮은 곳에서 제일 빠르게 지나간다. 이번 강은 바로 그 한 번의 주고받음을 자세히 들여다보는 이야기예요.
스프링 아래 막대는 이 계가 가진 에너지 예산 전체이고, 그 전체 길이는 절대 변하지 않는다. 이번 강 전체를 한 장면에 담은 법칙이에요. 파란 부분은 스프링에 저장된 에너지(위치에너지), 초록 부분은 움직임의 에너지(운동에너지)다. 추가 움직일 때 경계선이 미끄러지는 것을 보면, 양끝에서는 막대가 전부 파랑이에요. 스프링이 가득 차 있고 추는 멈춰 있다. 중심에서는 전부 초록이라 추는 내달리고 스프링은 비어 있어요. 한쪽이 차는 만큼 정확히 다른 쪽이 비어서 합은 그대로 머문다. 교환이 한 번 왕복마다 두 번 일어난다는 점도 눈여겨볼 만해요. 어느 방향으로 가든 추가 중심을 지날 때마다 에너지는 전부 운동에너지가 된다.
이제 스프링 쪽 절반만 따로 떼어 본다. x 만큼 늘어나거나 줄어든 스프링에 저장되는 에너지는 PE = ½kx² 예요. 슬라이더를 당기면 값이 포물선을 따라 올라가는데, 직선이 아니라 그릇 모양이다. 바로 그 곡선이 핵심이에요. 제곱 때문에 두 배 당기면 저장 에너지는 두 배가 아니라 네 배가 되고, 세 배 당기면 아홉 배가 된다. 이 그릇은 추가 중심에서 멀어질 때 올라가야 하는 언덕이고, 스프링이 뻣뻣할수록(k 가 클수록) 언덕이 더 가팔라져요. 양끝 x = ±A 에서 추는 그릇의 꼭대기에 앉고, 계의 에너지가 한 톨도 빠짐없이 ½kA² 로 여기 모여 있다.
이제 나머지 절반, 움직임의 에너지 KE = ½mv² 다. 추는 양끝에서 한순간 멈추고, 거기선 속도가 0이라 운동에너지를 하나도 들고 있지 않아요. 그리고 중심을 가로지를 때 가장 빨라서 속도가 vmax = Aωₙ 로 정점을 찍는다. 운동에너지를 위치에 대해 그리면 거꾸로 뒤집힌 그릇이 나오는데, 가운데가 가장 높고 양끝이 0이라 앞 단계에서 본 스프링 그릇을 정확히 거울에 비친 모양이에요. 추 위의 화살표가 속도를 나타내고, 중심에서 가장 길고 양끝으로 갈수록 0으로 줄어든다. 추가 스프링 언덕을 따라 중심으로 내려갈 때는 저장된 스프링 에너지를 써서 속도를 사들이고, 반대편을 올라갈 때는 그 속도를 도로 써서 스프링을 다시 채워요.
두 절반을 같은 그림에 올리고 위치를 슬라이더로 옮긴다. 파란 그릇은 스프링의 에너지 PE = ½kx², 초록 뒤집힌 그릇은 움직임의 에너지 KE = ½k(A²−x²) 예요. x 를 어디에 놓든 두 높이를 더하면 맨 위 평평한 금색 선, 곧 E = ½kA² 으로 똑같이 모인다. 한쪽이 올라가면 다른 쪽이 정확히 그만큼 내려가고, 오른쪽 작은 막대가 둘이 쌓여 늘 같은 합을 이루는 것을 보여줘요. 그 평평한 선이 바로 에너지 보존을 그림으로 옮긴 것이다. 마찰 없는 이상적인 진동에서는 에너지가 새로 생기지도, 사라지지도 않고 스프링과 추 사이를 오갈 뿐이에요. 그리고 이 한 문장 ½kx² + ½mv² = ½kA² 은 앞으로 끊임없이 쓰게 될 도구다. 어느 위치에서든 이 식을 세우면 시간을 한 번도 꺼내지 않고 그 지점의 속도를 구할 수 있어요.
그럼 예산 전체의 크기는 무엇이 정할까요? 진폭이다. 총 에너지는 E = ½kA² 이라 얼마나 멀리 당기는가의 제곱으로 자라요. 지난 강에서 진폭은 진동수를 바꾸지 않는다고 했던 것을 떠올려 보면, 추를 살짝 건드리든 세게 잡아당기든 박자는 똑같다. 그런데 에너지는 완전히 다른 이야기예요. A 를 움직이면 왼쪽 물결이 A 에 맞춰 키가 커지는 동안 오른쪽 에너지 막대는 훨씬 빠르게 치솟고, 눈금 간격이 벌어지는데 그 벌어지는 틈이 바로 제곱이 일하는 모습이다. 진폭을 두 배로 하면 에너지는 네 배를 집어넣은 것이에요. 그래서 더 세게 뜯으면 줄 소리가 더 크고, 더 크게 밀면 그네가 더 높이 가고, 공진이 그토록 위험하다. 공진은 에너지를 조용히 계속 밀어 넣어서 진폭이 슬금슬금 커지고, 저장 에너지는 그 제곱으로 올라가다가 결국 무언가가 부서지기 때문이에요.