에너지는 운동과 위치 사이를 끝없이 오간다
추가 왔다 갔다 하는 걸 보면서 양쪽 끝 두 지점을 자세히 본다. 그 순간 추는 딱 멈추는데, 바로 그때가 스프링이 가장 많이 늘어난 때예요. 이제 중심을 본다. 추는 거기서 절대 멈추지 않고 가장 빠르게 지나가는데, 스프링은 완전히 풀려서 아무것도 담고 있지 않다. 양끝에서 움직임이 멈출 때 에너지는 아무 데도 안 갔고, 형태만 바뀐 것이다. 양끝에서는 전부 늘어난 스프링에 저장돼 있고, 중심에서는 전부 내달리는 추가 들고 있어요. 같은 에너지가 한 형태에서 다른 형태로 끝없이 건네지고, 마찰이 없으면 그 합은 절대 변하지 않는다. 그네 타는 아이는 가장 높은 곳에서 한 박자 멈췄다가 가장 낮은 곳에서 제일 빠르게 지나간다. 이번 장면은 바로 그 한 번의 주고받음을 들여다보는 이야기예요. 높은 곳은 저장이고 낮은 곳은 달림이다. 멈춤은 저장이고 통과는 달림이며 둘의 합은 한 줄로 남는다.
스프링 아래 막대는 이 계가 가진 에너지 예산 전체이고, 그 전체 길이는 절대 변하지 않는다. 파란 부분은 스프링에 저장된 에너지, 곧 위치에너지이고, 초록 부분은 움직임의 에너지, 곧 운동에너지예요. 추가 움직일 때 경계선이 미끄러지는 것을 보면, 양끝에서는 막대가 전부 파랑이다. 스프링이 가득 차 있고 추는 멈춰 있다. 중심에서는 전부 초록이라 추는 내달리고 스프링은 비어 있어요. 한쪽이 차는 만큼 정확히 다른 쪽이 비어서 합은 그대로 머문다. 어느 방향으로 가든 추가 중심을 지날 때마다 에너지는 전부 운동에너지가 된다. 파랑과 초록이 한 막대 안에서 자리를 바꾼다. 왕복마다 중심을 두 번 지나고 그때마다 막대는 초록으로 가득 찬다.
이제 스프링 쪽만 따로 떼어 본다. x 만큼 늘어나거나 줄어든 스프링에 저장되는 에너지는 PE = ½kx² 예요. 슬라이더를 당기면 값이 포물선을 따라 올라가는데, 직선이 아니라 그릇 모양이다. 제곱 때문에 두 배 당기면 저장 에너지는 네 배가 되고, 세 배 당기면 아홉 배가 된다. 이 그릇은 추가 중심에서 멀어질 때 올라가야 하는 언덕이고, 스프링이 뻣뻣할수록(k 가 클수록) 언덕이 더 가팔라져요. 양끝 x = ±A 에서 추는 그릇의 꼭대기에 앉고, 계의 에너지가 한 톨도 빠짐없이 ½kA² 로 여기 모여 있다. 그릇이 가팔라질수록 같은 거리도 더 비싸다. 멀리 당길수록 언덕은 제곱으로 비싸지고 돌아오는 힘도 커진다.
이제 나머지 절반, 움직임의 에너지 KE = ½mv² 다. 추는 양끝에서 한순간 멈추고, 거기선 속도가 0이라 운동에너지를 하나도 들고 있지 않아요. 그리고 중심을 가로지를 때 가장 빨라서 속도가 vmax = Aωₙ 로 정점을 찍는다. 운동에너지를 위치에 대해 그리면 거꾸로 뒤집힌 그릇이 나오는데, 가운데가 가장 높고 양끝이 0이라 스프링 그릇을 거울에 비친 모양이에요. 추 위의 화살표가 속도를 나타내고, 중심에서 가장 길고 양끝으로 갈수록 0으로 줄어든다. 중심으로 내려갈 때는 스프링 에너지를 써서 속도를 사고, 반대편을 올라갈 때는 그 속도를 써서 스프링을 다시 채운다. 화살표가 길수록 운동이 많고 짧을수록 운동이 없다. 양끝의 멈춤과 중심의 질주가 한 주기의 두 얼굴이다.
두 절반을 같은 그림에 올리고 위치를 슬라이더로 옮긴다. 파란 그릇은 스프링의 에너지 PE = ½kx², 초록 뒤집힌 그릇은 움직임의 에너지 KE = ½k(A²−x²) 예요. x 를 어디에 놓든 두 높이를 더하면 맨 위 평평한 금색 선, 곧 E = ½kA² 으로 똑같이 모인다. 한쪽이 올라가면 다른 쪽이 정확히 그만큼 내려가고, 오른쪽 작은 막대가 둘이 쌓여 늘 같은 합을 이루는 것을 보여 준다. 그 평평한 선이 에너지 보존을 그림으로 옮긴 것이다. 마찰 없는 진동에서는 에너지가 새로 생기지도 사라지지도 않고 스프링과 추 사이를 오갈 뿐이에요. ½kx² + ½mv² = ½kA² 은 어느 위치에서든 시간을 꺼내지 않고 그 지점의 속도를 구하는 도구다. 금색 선이 평평한 것이 합이 변하지 않는다는 그림이다. 시간을 꺼내지 않아도 위치만으로 빠르기를 읽을 수 있다.
예산 전체의 크기는 진폭이 정한다. 총 에너지는 E = ½kA² 이라 얼마나 멀리 당기는가의 제곱으로 자라요. 추를 살짝 건드리든 세게 잡아당기든 박자는 똑같다. 그런데 에너지는 다른 이야기예요. A 를 움직이면 왼쪽 물결이 A 에 맞춰 키가 커지는 동안 오른쪽 에너지 막대는 훨씬 빠르게 치솟고, 그 벌어지는 틈이 바로 제곱이 일하는 모습이다. 진폭을 두 배로 하면 에너지는 네 배를 집어넣은 것이에요. 더 세게 뜯으면 줄 소리가 더 크고, 더 크게 밀면 그네가 더 높이 간다. 공진은 에너지를 계속 밀어 넣어서 진폭이 커지고, 저장 에너지는 그 제곱으로 올라가다가 무언가가 부서지기 때문이다. 네 배의 예산이 두 배의 진폭 안에 들어간다. 박자는 그대로인데 예산만 제곱으로 불어나는 것이 진폭의 뜻이다.