에너지는 운동과 위치 사이를 끝없이 오간다
추가 왔다 갔다 하는 걸 보면서, 양쪽 끝 두 지점을 자세히 보세요. 그 순간 추는 딱 멈춰요. 그런데 바로 그때가 스프링이 가장 많이 늘어난 때예요. 이제 중심을 보세요. 추는 거기서 절대 멈추지 않고 가장 빠르게 지나가요. 그런데 스프링은 완전히 풀려서 아무것도 담고 있지 않죠. 그럼 양끝에서 움직임이 멈출 때, 에너지는 어디로 갔을까요? 아무 데도 안 갔어요. 형태만 바뀐 거예요. 양끝에서는 전부 늘어난 스프링에 저장돼 있고, 중심에서는 전부 내달리는 추가 들고 있어요. 왔다 갔다 하면서 같은 에너지가 한 형태에서 다른 형태로, 다시 거꾸로 끝없이 건네져요. 마찰이 없으면 그 합은 절대 변하지 않고요. 그네 타는 아이는 공식 없이도 이걸 몸으로 알아요. 가장 높은 곳에서 한 박자 멈췄다가, 가장 낮은 곳에서 제일 빠르게 지나가죠. 이번 강은 바로 그 한 번의 주고받음을 자세히 들여다보는 이야기예요.
스프링 아래 막대는 이 계가 가진 에너지 예산 전체예요. 그리고 그 전체 길이는 절대 변하지 않아요. 이번 강 전체를 한 장면에 담은 법칙이죠. 파란 부분은 스프링에 저장된 에너지(위치에너지), 초록 부분은 움직임의 에너지(운동에너지)예요. 추가 움직일 때 경계선이 미끄러지는 걸 보세요. 양끝에서는 막대가 전부 파랑이에요. 스프링이 가득 차 있고 추는 멈춰 있죠. 중심에서는 전부 초록이에요. 추는 내달리고 스프링은 비었어요. 한쪽이 차는 만큼 정확히 다른 쪽이 비어서, 합은 그대로 머물러요. 교환이 한 번 왕복마다 두 번 일어난다는 점도 눈여겨보세요. 어느 방향으로 가든, 추가 중심을 지날 때마다 에너지는 전부 운동에너지가 돼요.
이제 스프링 쪽 절반만 따로 떼어 봐요. x 만큼 늘어나거나 줄어든 스프링에 저장되는 에너지는 PE = ½kx² 예요. 슬라이더를 당겨서 값이 포물선을 따라 올라가는 걸 보세요. 직선이 아니라 그릇 모양이죠. 바로 그 곡선이 핵심이에요. 제곱 때문에 두 배 당기면 저장 에너지는 두 배가 아니라 네 배가 돼요. 세 배 당기면 아홉 배고요. 이 그릇은 추가 중심에서 멀어질 때 올라가야 하는 언덕이에요. 스프링이 뻣뻣할수록(k 가 클수록) 언덕이 더 가팔라지죠. 양끝 x = ±A 에서 추는 그릇의 꼭대기에 앉고, 계의 에너지가 한 톨도 빠짐없이 ½kA² 로 여기 모여 있어요.
이제 나머지 절반, 움직임의 에너지예요. KE = ½mv². 추는 양끝에서 한순간 멈춰요. 거기선 속도가 0이라 운동에너지를 하나도 들고 있지 않죠. 그리고 중심을 가로지를 때 가장 빨라서, 속도가 vmax = Aωₙ 로 정점을 찍어요. 운동에너지를 위치에 대해 그리면 거꾸로 뒤집힌 그릇이 나와요. 가운데가 가장 높고 양끝이 0이라, 앞 단계에서 본 스프링 그릇을 정확히 거울에 비친 모양이죠. 추 위의 화살표가 속도를 나타내요. 중심에서 가장 길고 양끝으로 갈수록 0으로 줄죠. 추가 스프링 언덕을 따라 중심으로 내려갈 때는 저장된 스프링 에너지를 써서 속도를 사들이고, 반대편을 올라갈 때는 그 속도를 도로 써서 스프링을 다시 채워요.
두 절반을 같은 그림에 올리고 위치를 슬라이더로 옮겨 보세요. 파란 그릇은 스프링의 에너지 PE = ½kx², 초록 뒤집힌 그릇은 움직임의 에너지 KE = ½k(A²−x²) 예요. x 를 어디에 놓든 두 높이를 더하면 맨 위 평평한 금색 선, 곧 E = ½kA² 으로 똑같이 모여요. 한쪽이 올라가면 다른 쪽이 정확히 그만큼 내려가고, 오른쪽 작은 막대가 둘이 쌓여 늘 같은 합을 이루는 걸 보여 주죠. 그 평평한 선이 바로 에너지 보존을 그림으로 옮긴 거예요. 마찰 없는 이상적인 진동에서는 에너지가 새로 생기지도, 사라지지도 않고 스프링과 추 사이를 오갈 뿐이에요. 그리고 이 한 문장 ½kx² + ½mv² = ½kA² 은 앞으로 끊임없이 쓰게 될 도구예요. 어느 위치에서든 이 식을 세우면, 시간을 한 번도 꺼내지 않고 그 지점의 속도를 구할 수 있거든요.
그럼 예산 전체의 크기는 무엇이 정할까요? 진폭이에요. 총 에너지는 E = ½kA² 이라, 얼마나 멀리 당기는가의 제곱으로 자라요. 지난 강에서 진폭은 진동수를 바꾸지 않는다고 했던 걸 떠올려 보세요. 추를 살짝 건드리든 세게 잡아당기든 박자는 똑같죠. 그런데 에너지는 완전히 다른 이야기예요. A 를 움직이면 왼쪽 물결이 A 에 맞춰 키가 커지는 동안, 오른쪽 에너지 막대는 훨씬 빠르게 치솟아요. 눈금 간격이 벌어지는데, 그 벌어지는 틈이 바로 제곱이 일하는 모습이에요. 진폭을 두 배로 하면 에너지는 네 배를 집어넣은 거예요. 그래서 더 세게 뜯으면 줄 소리가 더 크고, 더 크게 밀면 그네가 더 높이 가고, 공진이 그토록 위험한 거예요. 공진은 에너지를 조용히 계속 밀어 넣어서 진폭이 슬금슬금 커지고, 저장 에너지는 그 제곱으로 올라가다가 결국 무언가가 부서지거든요.