고유진동수는 강성과 질량이 정한다

추를 끌어서 옆으로 당겼다가 놓아 보세요. 손을 떼면 추가 스스로 진동을 시작해요. 아래쪽 그래프는 그 변위가 시간에 따라 어떻게 변하는지 보여 줘요. 매끈한 물결 모양이죠. 이게 단조화운동이에요. 여기서 간단한 실험을 해 봐요. 많이 당겼다 놓아 보고, 조금만 당겼다 놓아 보세요. 물결의 높이(진폭)는 달라지지만, 물결이 한 번 출렁이는 간격은 그대로예요. 즉, 얼마나 세게 흔드느냐는 박자를 바꾸지 못해요. 박자는 계 자체가 정하거든요. 그래서 이걸 고유한(타고난) 진동수라고 불러요.

이제 질량은 그대로 두고, 스프링만 바꿔 볼게요. k 는 스프링의 강성, 즉 얼마나 뻣뻣한가예요. k 를 키워 보세요. 진동이 눈에 띄게 빨라지죠. 뻣뻣한 스프링은 추를 평형 위치로 더 세게 잡아당겨요. 같은 무게라도 더 강하게 되돌리니, 더 빨리 왕복하는 거예요. 자동차 서스펜션을 떠올려 보세요. 단단한 스포츠카 스프링은 통통 빠르게 튀고, 무른 스프링은 출렁출렁 느리게 움직이죠. 복원력이 셀수록 박자가 빨라진다. 이게 첫 번째 규칙이에요.

이번엔 반대로, 스프링은 그대로 두고 질량만 키워 볼게요. 블록이 커질수록 더 무거운 추예요. m 을 키우면 진동이 점점 느려지죠. 무거운 것은 관성이 커요. 일단 움직이면 멈추기 싫어하고, 멈춰 있으면 출발하기 싫어해요. 그래서 같은 스프링이 당겨도, 무거운 추는 굼뜨게 반응해서 한 번 왕복하는 데 시간이 더 걸려요. 큰 종이 작은 종보다 묵직하고 느리게 울리는 것과 같아요. 질량이 클수록 박자가 느려진다. 이게 두 번째 규칙이고, 강성과는 정반대 방향으로 작용해요.

두 규칙을 한 식으로 묶으면, 고유각진동수 ωₙ = √(km) 이에요. 강성 k 는 위(분자)에, 질량 m 은 아래(분모)에 들어가요. 그래서 k 가 커지면 ωₙ 이 커지고, m 이 커지면 ωₙ 이 작아지죠. 우리가 방금 본 그대로예요. 한 가지 더, 제곱근이 씌워져 있다는 점이 중요해요. k 와 m 슬라이더로 비 km 을 바꿔 보면 곡선이 √ 모양이라, 처음엔 가파르지만 갈수록 완만해져요. 강성을 네 배로 키워도 진동수는 두 배밖에 안 빨라진다는 뜻이에요. 박자를 두 배 빠르게 하려면 스프링을 네 배 뻣뻣하게 만들어야 하죠. 진동수를 알면 주기 T = 2πωₙ(한 번 왕복 시간)와 진동수 f = ωₙ2π(초당 횟수)도 바로 따라 나와요.

같은 원리가 스프링 밖에서도 똑같이 통해요. 진자는 조금 특별해요. 진자의 고유진동수는 ωₙ = √(gL) 로, 줄 길이 L 만 들어가고 추의 무게는 아예 들어가지 않아요. 그래서 무거운 추든 가벼운 추든 줄 길이가 같으면 똑같은 박자로 흔들리죠. 갈릴레오가 성당 샹들리에를 보고 알아챈 게 바로 이거예요. 고층 건물은 거대한 진자 같아요. 높을수록 더 무르고 무거워서 천천히 흔들려요. 마천루 꼭대기가 바람에 몇 초에 한 번씩 느릿느릿 흔들리는 이유죠. 소리굽쇠는 정반대예요. 짧고 뻣뻣하고 가벼운 갈래라 1초에 수백 번씩 아주 빠르게 떨려서, 우리 귀에 일정한 음으로 들려요. 버튼으로 셋을 바꿔 보면, 강성과 질량의 균형이 박자를 정한다는 같은 이야기가 보여요.