고유진동수는 강성과 질량이 정한다

추를 끌어서 옆으로 당겼다가 놓으면 손을 떼는 순간 추가 스스로 진동을 시작한다. 아래쪽 그래프는 그 변위가 시간에 따라 어떻게 변하는지 보여 주는데, 매끈한 물결 모양이에요. 이게 단조화운동이다. 여기서 간단한 실험을 해 본다. 많이 당겼다 놓아 보고, 조금만 당겼다 놓아 보면 물결의 높이(진폭)는 달라지지만 물결이 한 번 출렁이는 간격은 그대로예요. 곧 얼마나 세게 흔드느냐는 박자를 바꾸지 못한다. 박자는 계 자체가 정하기 때문에 이걸 고유한, 곧 타고난 진동수라고 불러요.

이제 질량은 그대로 두고 스프링만 바꾼다. k 는 스프링의 강성, 곧 얼마나 뻣뻣한가예요. k 를 키우면 진동이 눈에 띄게 빨라진다. 뻣뻣한 스프링은 추를 평형 위치로 더 세게 잡아당기니, 같은 무게라도 더 강하게 되돌려 더 빨리 왕복해요. 자동차 서스펜션을 떠올려 보면 단단한 스포츠카 스프링은 통통 빠르게 튀고, 무른 스프링은 출렁출렁 느리게 움직인다. 복원력이 셀수록 박자가 빨라진다는 것, 이게 첫 번째 규칙이에요.

이번엔 반대로 스프링은 그대로 두고 질량만 키운다. 블록이 커질수록 더 무거운 추이고, m 을 키우면 진동이 점점 느려져요. 무거운 것은 관성이 커서 일단 움직이면 멈추기 싫어하고, 멈춰 있으면 출발하기 싫어한다. 그래서 같은 스프링이 당겨도 무거운 추는 굼뜨게 반응해 한 번 왕복하는 데 시간이 더 걸려요. 큰 종이 작은 종보다 묵직하고 느리게 울리는 것과 같다. 질량이 클수록 박자가 느려진다는 것, 이게 두 번째 규칙이고 강성과는 정반대 방향으로 작용해요.

두 규칙을 한 식으로 묶으면 고유각진동수 ωₙ = √(km) 이다. 강성 k 는 위(분자)에, 질량 m 은 아래(분모)에 들어가요. 그래서 k 가 커지면 ωₙ 이 커지고, m 이 커지면 ωₙ 이 작아지는데, 우리가 방금 본 그대로다. 한 가지 더, 제곱근이 씌워져 있다는 점이 중요해요. k 와 m 슬라이더로 비 km 을 바꾸면 곡선이 √ 모양이라 처음엔 가파르지만 갈수록 완만해진다. 강성을 네 배로 키워도 진동수는 두 배밖에 안 빨라진다는 뜻이라, 박자를 두 배 빠르게 하려면 스프링을 네 배 뻣뻣하게 만들어야 해요. 진동수를 알면 주기 T = 2πωₙ(한 번 왕복 시간)와 진동수 f = ωₙ2π(초당 횟수)도 바로 따라 나온다.

같은 원리가 스프링 밖에서도 똑같이 통한다. 진자는 조금 특별해요. 진자의 고유진동수는 ωₙ = √(gL) 로 줄 길이 L 만 들어가고 추의 무게는 아예 들어가지 않는다. 그래서 무거운 추든 가벼운 추든 줄 길이가 같으면 똑같은 박자로 흔들려요. 갈릴레오가 성당 샹들리에를 보고 알아챈 게 바로 이것이다. 고층 건물은 거대한 진자 같아서 높을수록 더 무르고 무거워 천천히 흔들리고, 마천루 꼭대기가 바람에 몇 초에 한 번씩 느릿느릿 흔들리는 이유가 여기에 있어요. 소리굽쇠는 정반대다. 짧고 뻣뻣하고 가벼운 갈래라 1초에 수백 번씩 아주 빠르게 떨려서 우리 귀에 일정한 음으로 들려요. 버튼으로 셋을 바꾸면 강성과 질량의 균형이 박자를 정한다는 같은 이야기가 보인다.