모드: 두 개의 추, 두 개의 박자

추가 둘이 되면 진동은 처음 보기에 훨씬 복잡해진다. 아래 그림은 양쪽 벽 사이에 같은 질량 m₁, m₂ 두 개를 같은 스프링 세 개로 이은 계로, 감쇠는 없다. 한쪽 질량을 밀어 놓고 출발시키면 두 질량의 움직임이 서로 주고받듯 커졌다 작아졌다 하며 불규칙해 보이는 흔들림이 이어진다. 이 계의 고유각진동수는 ω₁ = √(km) = 2.00 과 ω₂ = √(3km) = 3.46 두 개이고, 지금 보이는 움직임은 이 두 진동이 섞인 결과다. 두 박자가 맞물렸다 어긋났다 하기 때문에 한쪽 질량의 진폭이 커지면 다른 쪽이 작아지는 맥놀이가 생긴다. 슬라이더는 재생 속도만 바꾸므로 천천히 돌려 보면 에너지가 한 질량에서 다른 질량으로 넘어가는 모습을 따라갈 수 있다. 이 복잡한 움직임을 두 개의 단순한 움직임으로 나누는 것이 다음 두 그림이다.

두 질량이 같은 방향으로, 같은 폭으로 함께 움직이는 경우가 첫째 모드다. 아래 그림에서 두 질량은 언제나 나란히 움직이므로 둘 사이의 가운데 스프링은 늘지도 줄지도 않고, 양쪽 바깥 스프링만 일을 한다. 각 질량은 스프링 하나에만 매달린 셈이라 고유각진동수가 단일 질량 때와 같은 ω₁ = √(km) = 2.00 이고, 두 모드 가운데 더 느리다. 이렇게 계가 한 고유진동수로만 흔들릴 때는 모든 부분이 같은 박자로 움직이고, 진폭의 비, 곧 모양이 시간이 지나도 변하지 않는다. 이 모양을 나타낸 벡터 [1, 1] 이 첫째 모드의 모드 형상이다. 다층 건물이라면 모든 층이 같은 쪽으로 기우는 가장 느린 흔들림이 이에 해당한다.

둘째 모드에서는 두 질량이 서로 반대 방향으로, 같은 폭으로 움직인다. 아래 그림에서 두 질량이 서로 다가오고 멀어지기를 되풀이하므로 가운데 스프링이 가장 크게 늘고 줄어, 각 질량을 되돌리는 힘이 첫째 모드보다 세진다. 가운데 스프링이 양쪽에서 두 배로 변형되는 셈이라 각 질량이 받는 강성이 k + 2k = 3k 가 되고, 고유각진동수는 ω₂ = √(3km) = 3.46 으로 첫째 모드의 √3 배다. 모드 형상은 [1, −1] 이고, 두 질량 사이의 가운데 점은 이 모드에서 움직이지 않는 마디가 된다. 일반적으로 모드의 순서가 올라갈수록 모양이 더 구불구불해지고 고유진동수가 높아지는데, 마디가 늘수록 스프링이 더 많이 변형되기 때문이다.

두 모드는 이 계의 모든 움직임을 만드는 재료다. 아래 그림의 위 두 줄은 모드 1 과 모드 2 가 각자의 박자로 따로 움직이는 모습이고, 맨 아래 줄은 두 모드를 더한 실제 움직임이다. 슬라이더로 두 모드를 섞는 비율을 바꾸면 두 계수가 함께 바뀌는데, 처음 값에서는 0.71 과 0.71 로 반반이고, 맨 왼쪽은 1.00 과 0.00 으로 첫째 모드만, 맨 오른쪽은 0.00 과 1.00 으로 둘째 모드만 남는다. 반반으로 섞으면 두 박자가 맞지 않아 실제 움직임이 맨 위 그림처럼 복잡해 보이지만, 그 안에는 단순한 두 진동만 들어 있다. 이렇게 어떤 움직임이든 모드의 합으로 나누는 방법을 모드 해석이라 하고, 자유도가 수천 개인 구조물도 몇 개의 낮은 모드만으로 근사할 수 있다. 처음 상태에 따라 각 모드가 얼마나 섞이는지가 정해지고, 그다음에는 모드마다 따로 계산하면 된다.

모드의 생각은 진동을 잡는 장치에도 쓰인다. 아래 그림의 버튼으로 댐퍼가 없는 경우와 있는 경우를 고르면 바람에 흔들리는 고층 건물의 모습이 바뀐다. 댐퍼가 없으면 건물이 고유진동수로 흔들려 꼭대기가 크게 휘지만, 꼭대기에 건물과 같은 고유진동수로 맞춘 추, 곧 동조질량댐퍼(TMD)를 달면 그 추가 건물과 반대 박자로 크게 흔들리며 에너지를 대신 받아 건물의 흔들림이 줄어든다. 건물과 추를 합치면 질량이 둘인 계가 되어 원래의 공진 봉우리가 두 개의 낮은 봉우리로 갈라지고, 추에 붙은 감쇠가 그 에너지를 열로 바꿔 없앤다. 대만의 타이베이 101 빌딩 꼭대기 근처에 매달린 약 660 t 의 강철 공이 대표적인 예이다. 같은 원리가 교량, 굴뚝, 송전선의 진동을 잡는 데도 쓰인다.