공진: 작은 힘이 큰 흔들림이 될 때
지난 강의 자유진동은 한 번 놓으면 잦아들었다. 이번엔 계속 밀어 본다. 그네를 떠올려 보자. 아무 때나 막 밀면 별로 안 올라가는데, 그네의 타고난 박자에 딱 맞춰 밀면 갈수록 더 높이 올라가요. 비밀은 전부 여기 있다. 주기적인 힘으로 계를 흔들면 계는 결국 미는 박자로 진동한다. 그 박자가 마침 계의 고유진동수 ωₙ 와 같으면, 미는 힘이 매번 움직임과 같은 방향으로 에너지를 보태서 진폭이 엄청나게 커져요. 무엇이 그걸 막느냐면 오직 감쇠뿐이다. 작은 힘이라도 박자만 맞으면 다리를 무너뜨리고, 목소리만으로 유리잔을 깰 수 있어요. 그 박자가 맞아떨어지는 현상이 공진이고, 진동에서 가장 중요하면서 가장 위험한 개념이다.
계를 주기적인 힘 F = F₀cos(ωt) 으로 밀어 본다. 처음엔 자유진동(지난 강)이 섞인 과도응답이 잠깐 나타나지만, 그게 잦아들고 나면 계는 정상상태로 흔들려요. 핵심은 이것이다. 계는 제 고유진동수 ωₙ 가 아니라 미는 쪽이 주는 구동 진동수 ω 로 흔들린다. 그 진폭은 정적 변형 F₀k 에 배율 M 을 곱한 값이고, 이 M 은 진동수비 r = ωωₙ 에 달려 있어요. ω 를 움직이면 ωₙ 에서 멀 때는 질량이 거의 안 움직이지만, ω 가 ωₙ 에 다가가면 진폭이 부풀어 오른다. 계는 제 타고난 박자로 밀 때 가장 잘 움직여요.
그 배율 M 을 진동수비 r 에 대해 그리면 공진 곡선이 나온다. M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²) 이고 세 구역으로 나뉘어요. r 이 작을 때, 곧 천천히 밀 때는 M ≈ 1 이다. 질량이 힘을 거의 그대로 따라가서 F₀k 만큼 변형될 뿐이라, 마치 정적인 힘처럼 작동해요. r 이 1 부근일 때는 분모가 거의 0이 되면서 M 이 날카로운 봉우리로 치솟는데, 이것이 공진이다. r 이 클 때, 곧 빠르게 밀 때는 M → 0 이라 질량이 너무 굼떠서 따라가지 못하고 거의 반응하지 않아요. r ≈ 1 의 봉우리가 핵심이다. 고유진동수에 맞춰 밀면 응답이 몇 배로 증폭된다.
봉우리가 무한히 솟지 못하게 막는 건 감쇠다. 공진(r = 1)에서는 (1−r²) 항이 0이 되니, 진폭을 붙잡아 주는 건 오직 2ζr 항, 곧 감쇠뿐이에요. ζ 를 움직이면 감쇠가 가벼울 때 봉우리가 높고 날카롭고 위험해지며, 감쇠가 크면 낮고 뭉툭해진다. 봉우리 높이는 대략 1(2ζ) 인데, 이걸 품질계수 Q 라고 불러요. 감쇠가 거의 없는 종이나 와인잔(높은 Q)은 날카롭고 순수한 공진으로 울리고, 잘 감쇠된 기계 마운트(낮은 Q)는 거의 반응하지 않는다. 엔지니어가 감쇠를 더하는 이유가 바로 이것이에요. 고유진동수를 바꾸려는 게 아니라 공진 봉우리를 길들이려는 것이다.
이야기에는 나머지 절반이 있는데, 위상이다. 응답은 늘 구동 힘보다 각도 φ 만큼 뒤져요. 공진보다 아래(r < 1)에서는 뒤짐이 작아서 질량과 힘이 거의 같이 움직인다. 바로 공진(r = 1)에서는 뒤짐이 정확히 90°, 곧 14주기예요. 이때 힘은 늘 질량이 이미 가고 있는 방향으로 밀어 주고, 그래서 에너지가 그토록 효율적으로 들어가며 진폭이 자란다. 공진보다 위(r > 1)에서는 뒤짐이 180°에 가까워져 질량이 힘과 반대로 움직이며 맞서니 전달되는 게 거의 없어요. 구동 점과 응답 점을 보면 같이 움직이다가, 14주기 어긋났다가, 정반대로 움직이는 것으로 옮겨 간다.
공진은 좋게도 나쁘게도 어디에나 있다. 타코마 다리(1940)는 바람이 다리의 고유진동수에 에너지를 실어 주자 스스로 뒤틀려 무너졌는데, 교과서에 나오는 파괴적 공진의 경고예요. 성악가는 와인잔의 고유진동수와 맞는 음을 길게 내서 잔을 깰 수 있다. 군인들이 다리를 건널 때 발을 맞추지 않고 흐트러뜨리는 건, 행진 박자가 다리의 고유진동수에 걸리지 않게 하려는 것이에요. 하지만 공진은 유용하기도 하다. 라디오 동조란 회로의 고유진동수를 한 방송국에 공진할 때까지 맞춰서 나머지는 무시하는 것이라, 수천 개 신호 중 하나를 골라내는 필터로서의 공진이에요. 같은 물리, 정반대의 의도다.