공진: 작은 힘이 큰 흔들림이 될 때

계를 주기적인 힘 F = F₀cos(ωt) 으로 민다. 처음에는 지난 강의 자유진동이 섞인 과도응답이 잠깐 보이지만, 그것이 잦아들면 계는 정상상태로 흔들려요. 핵심은 계가 제 고유진동수 ωₙ 가 아니라, 미는 쪽이 정한 구동 진동수 ω 로 흔들린다는 점이다. 그 진폭은 정적 변형 F₀k 에 배율 M 을 곱한 값이고, 이 M 은 진동수비 r = ωωₙ 에 달려 있다. ω 가 ωₙ 에서 멀면 질량은 거의 움직이지 않아요. ω 가 ωₙ 에 다가가면 진폭이 부풀어 오른다. 계는 타고난 박자로 밀릴 때 가장 잘 움직인다. 박자가 어긋나면 같은 힘도 질량을 거의 움직이지 못한다.

그 배율 M 을 진동수비 r 에 대해 그리면 공진 곡선이 나온다. M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²) 이고, 곡선은 세 구역으로 나뉘어요. r 이 작을 때, 곧 천천히 밀 때는 M ≈ 1 이다. 질량이 힘을 거의 그대로 따라가서 F₀k 만큼만 변형되고, 마치 정적인 힘처럼 움직여요. r 이 1 부근일 때는 분모가 거의 0이 되면서 M 이 날카로운 봉우리로 치솟는다. 이것이 공진이다. r 이 클 때, 곧 빠르게 밀 때는 M → 0 이라 질량이 너무 굼떠서 따라가지 못하고 거의 반응하지 않아요. r ≈ 1 의 봉우리가 이 곡선의 핵심이다. 고유진동수에 맞춰 밀면 응답은 몇 배로 커진다.

봉우리가 끝없이 솟지 못하게 막는 것은 감쇠다. 공진(r = 1)에서는 (1−r²) 항이 0이 되니, 진폭을 붙잡는 것은 오직 2ζr 항, 곧 감쇠뿐이에요. ζ 를 바꾸면 감쇠가 가벼울 때 봉우리는 높고 날카로워져 위험해지고, 감쇠가 크면 낮고 뭉툭해진다. 봉우리 높이는 대략 1(2ζ) 인데, 이걸 품질계수 Q 라고 불러요. 감쇠가 거의 없는 종이나 와인잔(높은 Q)은 날카롭고 순수한 공진으로 울리고, 잘 감쇠된 기계 마운트(낮은 Q)는 거의 반응하지 않는다. 엔지니어가 감쇠를 더하는 이유는 고유진동수를 옮기려는 것이 아니라, 공진 봉우리를 길들이려는 것이에요. 봉우리를 낮추는 일이 감쇠의 몫이다.

이야기에는 나머지 절반이 있고, 그것은 위상이다. 응답은 언제나 구동 힘보다 각도 φ 만큼 뒤져요. 공진보다 아래(r < 1)에서는 뒤짐이 작아서 질량과 힘이 거의 같이 움직인다. 바로 공진(r = 1)에서는 뒤짐이 정확히 90°, 곧 14주기예요. 이때 힘은 질량이 이미 가는 방향으로 밀어서, 에너지가 효율적으로 들어가고 진폭이 자란다. 공진보다 위(r > 1)에서는 뒤짐이 180°에 가까워지고, 질량은 힘과 반대로 움직이며 맞선다. 그래서 전달되는 것이 거의 없다. 구동 점과 응답 점을 보면, 같이 움직이다가 14주기만큼 어긋났다가, 정반대로 움직이는 쪽으로 옮겨 가요. 위상이 에너지를 넣는 방향을 정한다.

공진은 좋게도 나쁘게도 어디에나 있다. 타코마 다리(1940)는 바람이 다리의 고유진동수에 에너지를 실어 주자 스스로 뒤틀려 무너졌고, 파괴적 공진을 경고하는 교과서가 됐어요. 성악가는 와인잔의 고유진동수와 맞는 음을 길게 내서 잔을 깰 수 있다. 군인들이 다리를 건널 때 발을 맞추지 않고 흐트러뜨리는 것은, 행진 박자가 다리의 고유진동수에 걸리지 않게 하려는 것이에요. 공진은 쓸모가 있기도 하다. 라디오 동조는 회로의 고유진동수를 한 방송국에 공진할 때까지 맞춰, 나머지 신호를 무시하는 일이다. 수많은 신호 가운데 하나를 골라 내는 필터로서의 공진이에요. 같은 물리이고, 의도는 정반대다.