공진 — 작은 힘이 큰 흔들림이 될 때
지난 강의 자유진동은 한 번 놓으면 잦아들었어요. 이번엔 계속 밀어 봐요. 그네를 떠올려 보세요. 아무 때나 막 밀면 별로 안 올라가요. 그런데 그네의 타고난 박자에 딱 맞춰 밀면, 갈수록 더 높이 올라가죠. 비밀은 전부 여기 있어요. 주기적인 힘으로 계를 흔들면, 계는 결국 당신이 미는 박자로 진동해요. 그 박자가 마침 계의 고유진동수 ωₙ 와 같으면, 미는 힘이 매번 움직임과 같은 방향으로 에너지를 보태서 진폭이 엄청나게 커져요. 무엇이 그걸 막느냐고요? 오직 감쇠뿐이에요. 작은 힘이라도 박자만 맞으면 다리를 무너뜨리고, 목소리만으로 유리잔을 깰 수 있어요. 그 박자가 맞아떨어지는 현상이 공진이에요. 진동에서 가장 중요하면서 가장 위험한 개념이죠.
계를 주기적인 힘 F = F₀cos(ωt) 으로 밀어 봐요. 처음엔 자유진동(지난 강)이 섞인 과도응답이 잠깐 나타나지만, 그게 잦아들고 나면 계는 정상상태로 흔들려요. 핵심은 이거예요. 계는 제 고유진동수 ωₙ 가 아니라 당신이 미는 구동 진동수 ω 로 흔들려요. 당신이 주는 박자에 맞춰 춤추는 거죠. 그 진폭은 정적 변형 F₀k 에 배율 M 을 곱한 거예요. 이 M 은 진동수비 r = ωωₙ 에 달려 있죠. ω 를 움직여 보세요. ωₙ 에서 멀면 질량은 거의 안 움직이지만, ω 가 ωₙ 에 다가가면 진폭이 부풀어 올라요. 계는 제 타고난 박자로 밀 때 가장 잘 움직여요.
그 배율 M 을 진동수비 r 에 대해 그리면 공진 곡선이 나와요. M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²) 이에요. 세 구역으로 나뉘죠. r 이 작을 때(천천히 밀 때)는 M ≈ 1 이에요. 질량이 힘을 거의 그대로 따라가서 F₀k 만큼 변형될 뿐이죠, 마치 정적인 힘처럼요. r 이 1 부근일 때는 분모가 거의 0이 되면서 M 이 날카로운 봉우리로 치솟아요 — 이게 공진이에요. r 이 클 때(빠르게 밀 때)는 M → 0 이에요. 질량이 너무 굼떠서 따라가지 못하고 거의 반응하지 않죠. r ≈ 1 의 봉우리가 핵심이에요. 고유진동수에 맞춰 밀면 응답이 몇 배로 증폭돼요.
봉우리가 무한히 솟지 못하게 막는 건 뭘까요? 감쇠예요. 공진(r = 1)에서는 (1−r²) 항이 0이 되니, 진폭을 붙잡아 주는 건 오직 2ζr 항, 곧 감쇠뿐이에요. ζ 를 움직여 보세요. 감쇠가 가벼우면 봉우리가 높고 날카롭고 위험해지고, 감쇠가 크면 낮고 뭉툭해져요. 봉우리 높이는 대략 1(2ζ) 인데, 이걸 품질계수 Q 라고 불러요. 감쇠가 거의 없는 종이나 와인잔(높은 Q)은 날카롭고 순수한 공진으로 울리고, 잘 감쇠된 기계 마운트(낮은 Q)는 거의 반응하지 않죠. 엔지니어가 감쇠를 더하는 이유가 바로 이거예요. 고유진동수를 바꾸려는 게 아니라, 공진 봉우리를 길들이려는 거죠.
이야기에는 나머지 절반이 있어요. 위상이에요. 응답은 늘 구동 힘보다 각도 φ 만큼 뒤져요. 공진보다 아래(r < 1)에서는 뒤짐이 작아서, 질량과 힘이 거의 같이 움직여요. 바로 공진(r = 1)에서는 뒤짐이 정확히 90°, 곧 14주기예요. 이때 힘은 늘 질량이 이미 가고 있는 방향으로 밀어 줘요. 그래서 에너지가 그토록 효율적으로 들어가고 진폭이 자라는 거예요. 공진보다 위(r > 1)에서는 뒤짐이 180°에 가까워져요. 질량이 힘과 반대로 움직이며 맞서니, 전달되는 게 거의 없죠. 구동 점과 응답 점을 보세요. 같이 움직이다가, 14주기 어긋났다가, 정반대로 움직이는 걸로 옮겨 가요.
공진은 좋게도 나쁘게도, 어디에나 있어요. 타코마 다리(1940)는 바람이 다리의 고유진동수에 에너지를 실어 주자 스스로 뒤틀려 무너졌어요 — 교과서에 나오는 파괴적 공진의 경고죠. 성악가는 와인잔의 고유진동수와 맞는 음을 길게 내서 잔을 깰 수 있어요. 군인들이 다리를 건널 때 발을 맞추지 않고 흐트러뜨리는 건, 행진 박자가 다리의 고유진동수에 걸리지 않게 하려는 거예요. 하지만 공진은 유용하기도 해요. 라디오 동조란 회로의 고유진동수를 한 방송국에 공진할 때까지 맞춰서 나머지는 무시하는 거예요 — 수천 개 신호 중 하나를 골라내는 필터로서의 공진이죠. 같은 물리, 정반대의 의도예요.