감쇠: 진동은 왜 잦아드는가

위아래 두 계는 같은 스프링과 같은 질량이고, 다른 점은 하나뿐이다. 아래쪽에는 댐퍼가 붙어 있어요. 둘 다 같은 폭에서 놓았는데, 위쪽(댐퍼 없음)은 그 폭을 그대로 유지한 채 흔들리고, 아래쪽(댐퍼 있음)은 왕복할 때마다 닿는 폭이 줄어든다. 댐퍼 안의 피스톤은 점성 유체를 밀면서 운동에너지를 열로 바꿔요. 그 힘은 언제나 속도의 반대라, 에너지를 보태지 못하고 빼내기만 한다. 그래서 지난 강의 ½kx²+½mv² = 일정 은 더 성립하지 않고 합이 샌다. 닿는 폭이 줄어드는 모습이 에너지가 빠져나간 증거다. 에너지는 폭의 제곱(E∝A²)이라, 폭이 절반이 되면 에너지는 4분의 1만 남아요. 아래 숫자는 그 남은 에너지를 보여 준다.

감쇠가 가벼우면 진동은 남지만, 점점 좁아지는 지수 포락선 안에 갇힌다. 변위는 x(t) = A·e^−ζωₙt·cos(ω_d t) 로 적혀요. 주황 점선이 포락선 e^−ζωₙt 이고, 파란 곡선이 그 안에서 오가는 변위다. 폭은 주기마다 같은 길이만큼 줄지 않고, 같은 비율로 줄어든다. 금색 마루를 따라가면 다음 마루는 언제나 앞 마루의 배율 r 이에요. 첫 마루가 10에서 8로 줄면, 다음은 8에서 6.4로, 그다음은 6.4에서 5.12로, 매번 0.8배가 된다. 이 일정한 비의 로그를 로그 감쇠율이라고 부른다. 마루 둘만 재도 그 계의 감쇠를 알 수 있고, ζ 를 키우면 포락선은 더 가팔라져요. 포락선이 가팔라질수록 같은 시간 뒤에 남는 폭도 더 작아진다. 길이보다 비로 읽는 편이 이 감쇠에는 맞아요.

감쇠를 재는 숫자는 감쇠비 ζ = c(2√(km)) 하나다. c 는 점성 감쇠계수, 곧 댐퍼의 세기이고, k 와 m 은 이미 나온 강성과 질량이에요. ζ 는 이 셋을 묶은 무차원 다이얼이라, 계가 크든 작든 같은 ζ 이면 잦아드는 모양이 같다. ζ 를 키우면 두 가지가 같이 온다. 잦아듦은 빨라지고, 흔들림 자체도 조금 느려져요. 감쇠가 있으면 계는 고유진동수 ωₙ 이 아니라 그보다 낮은 감쇠 진동수 ω_d = ωₙ√(1−ζ²) 로 흔들린다. 감쇠가 가벼우면 √(1−ζ²) 가 거의 1이라 ω_d ≈ ωₙ 에 가깝고, ζ 가 1에 다가가면 ω_d 는 0으로 떨어져요. 흔들림이 사라지기 직전의 모습이다. 다이얼 하나가 계의 크기와 상관없이 잦아드는 모양을 정해요.

ζ 가 1을 넘는 순간, 거동의 종류가 바뀐다. 변위를 주고 가만히 놓은 복귀 곡선을 보면 갈림이 뚜렷해요. 부족감쇠(ζ<1)에서는 0을 지나 반대편까지 갔다가 돌아오며 출렁인다. 임계감쇠(ζ=1)에서는 출렁임 없이, 한 번도 0을 넘지 않은 채 가장 빨리 제자리로 돌아와요(금색 점선). 과감쇠(ζ>1)도 넘지는 않지만, 너무 끈적여서 느리게 기어 돌아온다. 슬라이더로 ζ 를 0에서 2까지 옮기면 지금의 곡선이 이 세 모양을 오간다. 임계감쇠가 특별한 이유는, ζ=1 이 넘지 않으면서 가장 빨리 멈추는 경계이기 때문이에요. 빨리 안정시키되 출렁임은 남기고 싶지 않은 설계에 맞는다. 출렁임을 남기지 않는 가장 빠른 복귀가 임계의 뜻이에요.

이 세 영역은 수학에 그치지 않고, 엔지니어가 일부러 고르는 설계다. 자동차 쇼크업소버는 살짝 부족감쇠(ζ≈0.3)로 맞춘다. 범프를 넘으면 한두 번 부드럽게 출렁인 뒤 안정되고, 너무 빳빳하면 승차감이 나쁘며 너무 물렁하면 출렁임이 남기 때문이에요. 도어클로저는 임계 부근(ζ≈0.9)이다. 쾅 닫히거나 튕겨 열리지 않고, 매끈하게 딱 닫혀야 한다. 계기 바늘과 일부 유압 장치는 과감쇠(ζ≈1.6)예요. 느려도 괜찮고, 출렁임 없이 한 값에 멈춰 눈금을 정확히 읽는 쪽이 중요하다. 버튼으로 셋을 바꾸면, 같은 ζ 가 기계마다 다른 답으로 나타난다. 같은 숫자를 고르는 일이 곧 승차감과 문 닫힘과 눈금의 정확도를 고르는 일이에요.