정상파: 무한히 많은 추
지난 강에서 질량 N개는 모드 N개였다. 그 추를 끝없이 늘려 하나의 연속된 줄로 만들면, 모드도 끝없이 많아진다. 각 모드는 양끝이 고정된 채 진동하는 매끈한 정상파이고, 그 진동수는 기본음의 정수배예요. 줄이 음악이 되는 까닭이 여기 있다. 추의 개수가 늘어 곡선이 되는 순간, 진동은 파동의 말을 쓰기 시작한다.
N을 늘려 본다. 추가 몇 개뿐이면 지난 강의 울퉁불퉁한 모드 모양이지만, 개수가 늘수록 매끈한 하나의 곡선, 곧 연속된 줄로 모여요. 연속계는 추가 끝없이 많은 다자유도계다. 점과 점 사이가 사라지면, 모양이 곡선으로 읽힌다.
가장 단순한 모드가 기본모드다. 줄 전체가 양끝의 마디를 고정한 채, 하나의 봉우리로 함께 오르내려요. 반파장이 줄의 길이와 같아서 λ₁ = 2L 이고, 진동수는 가장 낮은 f₁ 이다. 가운데가 가장 크게 움직이고, 끝은 움직이지 않는다.
더 높은 모드를 고른다. n번째 모드는 봉우리가 n개이고, 그 사이 마디가 n−1개이다. 진동수는 fₙ = n·f₁ 로 기본음의 정수배예요. 이 정수배의 사다리가 배음이고, 줄소리가 음악으로 들리는 이유다. 마디가 늘수록 음은 높아진다.
A5의 중첩이 끝없이 많은 모드로 넓어진다. 줄을 한 점에서 뜯으면, 그 삼각형 모양은 정상파 모드들의 합이에요. 더하는 배음을 늘리면 모서리가 날카로워지며 뜯은 모양에 모여든다. 어떤 배합인지가 곧 음색이다. 배음이 적을수록 모서리는 둥글고, 많을수록 뜯은 자리가 선명해진다.
무엇이 음을 정할까요? f₁ = (12L)√(Tμ) 로, 장력 T, 길이 L, 선밀도 μ 가 정한다. 세 가지를 움직여 본다. 더 팽팽히(T↑), 더 짧게(L↓, 프렛을 짚기), 더 가늘게(μ↓) 하면 음이 올라가요. 베이스 줄이 굵은 것도, 다리 케이블과 송전선이 떠는 것도 같은 식이다. 팽팽하고 짧고 가벼울수록 음은 높아진다.