기계진동
무한히 많은 추 — 정상파
질량을 무한히 늘리면 줄·보가 되고, 모드는 정수배 정상파 fₙ = n·f₁ (배음), 음을 정하는 건 f₁ = (1/2L)√(T/μ)
지난 강에서 질량 N개는 모드 N개였어요. 그 추를 무한히 많게 — 곧 하나의 연속된 줄로 — 만들면 모드도 무한히 많아지는데, 각 모드는 양끝이 고정된 채 진동하는 매끈한 정상파이고 그 진동수는 기본음의 정수배예요. 줄이 음악이 되는 까닭이죠.
N을 늘려 보세요. 추가 몇 개면 지난 강의 울퉁불퉁한 모드 모양이지만, 많아질수록 매끈한 하나의 곡선 — 연속된 줄 — 로 수렴해요. 연속계는 추가 무한히 많은 다자유도계예요.
가장 단순한 모드, 기본모드예요. 줄 전체가 양끝(마디)을 고정한 채 하나의 봉우리로 함께 오르내려요. 반파장이 줄 길이와 같아 λ₁ = 2L, 진동수는 가장 낮은 f₁ 이에요.
더 높은 모드를 골라 보세요. n번째 모드는 봉우리가 n개, 그 사이 마디가 n−1개이고, 진동수는 fₙ = n·f₁ — 기본음의 정수배예요. 이 정수배 사다리가 바로 배음(하모닉스)이고, 줄소리가 음악적인 이유죠.
A5의 중첩이 무한히 많은 모드로 확장돼요. 줄을 한 점에서 뜯으면 그 삼각형 모양은 정상파 모드들의 합이에요. 더할 배음 수를 늘려 보세요 — 모서리가 점점 날카로워지며 뜯은 모양에 수렴해요. 어떤 배합인지가 곧 음색이에요.
무엇이 음을 정할까요? f₁ = (12L)√(Tμ) — 장력 T, 길이 L, 선밀도 μ. 세 가지를 움직여 보세요. 더 팽팽히(T↑), 더 짧게(L↓, 프렛 짚기), 더 가늘게(μ↓) 하면 음이 올라가요. 베이스 줄이 굵은 것도, 다리 케이블·송전선이 떠는 것도 같은 식이에요.
빠른 적용연속계 — 줄·보·판 — 는 추가 무한히 많은 다자유도계라, 모드도 무한히 많아요. 각 모드는 양끝 마디 사이의 정상파이고, 줄에서는 진동수가 fₙ = n·f₁ 로 기본음의 정수배(배음)예요. 어떤 진동이든 이 모드들의 합으로 분해되고(뜯은 모양 = 배음의 합 = 음색), 기본음은 f₁ = (12L)√(Tμ) — 장력·길이·선밀도가 정해요. 실무는 늘 같아요. 모드의 모양과 진동수를 찾고, 구동을 그 어느 것과도 겹치지 않게 피하는 것. 다리·날개·건물도 결국 무한 모드를 가진 연속체이고, 정상파는 진동이 파동·음악과 만나는 자리예요.
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