흐름은 속도장, 유선은 그것을 따라간다
흐르는 물 위에 격자를 깔고 각 점에서 물이 어느 쪽으로 얼마나 빨리 흐르는지 화살표로 그린 것이 속도장이다. 한 물방울을 끝까지 쫓아다니는 대신 공간의 각 지점에 카메라를 붙여 거기를 지나는 물의 속도를 읽는 관점이고, 이걸 오일러 시점이라고 해요. 탐침을 끌어 옮기면 자리마다 화살표의 방향과 길이가 달라지는 게 보인다. 그리고 이 화살표들을 계속 따라가며 이으면 하나의 매끄러운 곡선이 그려지는데, 그게 유선이에요. 유선은 그 순간 물이 흘러가는 길을 그대로 보여 주고, 흐름을 그림으로 읽는 첫걸음이 된다.
먼저 속도장 자체를 느껴 본다. 격자의 화살표 하나하나가 그 자리를 지나는 물의 속도이고, 방향은 물이 가는 쪽 길이는 빠르기예요. 탐침을 끌어 가로로 움직이면 어떤 자리에선 화살표가 위로, 어떤 자리에선 아래로 기운다. 물방울 하나의 운명을 따라가는 게 아니라 공간을 가득 채운 속도의 분포를 통째로 보는 것인데, 바람을 화살표로 그린 일기예보 지도를 떠올리면 돼요. 그 지도가 바로 속도장이고, 유체역학은 이 장을 읽는 데서 시작한다.
이제 그 화살표들을 따라가 본다. 물에 작은 씨앗 하나를 떨어뜨렸다고 하면 씨앗은 발밑 화살표가 가리키는 쪽으로 조금 가고 새 자리에서 다시 그 자리 화살표를 따라가며 이걸 끝없이 반복하는데, 그 자취가 유선이에요. 씨앗의 높이를 끌어 시작점을 바꾸면 시작점마다 다른 유선이 그려진다. 화살표들이 점점이 찍힌 안내라면 유선은 그 점들을 이어 그린 매끄러운 길이고, 강물에 나뭇잎을 띄우면 잎이 그리는 선이 바로 유선이에요.
흐름에는 정상류와 비정상류 두 가지가 있다. 정상류는 시간이 지나도 각 점의 속도가 변하지 않는 흐름이라, 강의 한 지점을 보면 물은 계속 흐르지만 그 지점의 빠르기와 방향은 늘 같고 유선 그림도 시간이 흘러도 그대로예요. 비정상류는 점의 속도가 시간에 따라 변하는데, 파도치는 바다가 그렇다. 버튼으로 둘을 바꿔 보면 정상류에서는 유선이 한 모습으로 고정되지만 비정상류에서는 조금 뒤의 유선이 지금과 달라져 어긋나요. 앞으로 다룰 공식들은 대부분 다루기 쉬운 정상류를 가정한다.
유선에는 결정적인 성질이 하나 있다. 유선 위 어느 점에서든 속도는 정확히 유선의 접선 방향을 가리키는데, 유선이 애초에 화살표를 따라 그은 선이니 당연한 일이에요. 점을 끌어 유선을 따라 움직이면 속도 화살표가 늘 곡선에 딱 붙어 접하는 게 보인다. 여기서 중요한 결론이 하나 나오는데, 어떤 물도 유선을 가로질러 흐르지 않는다는 것이에요. 속도가 유선을 따라가기만 하니 유선을 넘는 성분이 없기 때문이고, 그래서 유선은 보이지 않는 벽처럼 작동한다. 이 성질이 다음 강에서 단면을 지나는 유량을 따질 때 결정적으로 쓰여요.
마지막으로 강을 본다. 강폭이 넓은 곳에서는 유선이 느슨하게 퍼져 있다가 강이 좁아지는 길목에서는 유선들이 서로 바짝 붙는데, 좁힘 폭을 끌어 강을 조이면 좁아질수록 유선이 촘촘해져요. 유선이 빽빽하다는 건 거기서 물이 빠르게 흐른다는 뜻인데, 같은 양의 물이 좁은 길로 다 지나가려면 더 빨라질 수밖에 없기 때문이다. 강의 좁은 여울에서 물살이 세지는 게 이것이고, 유선의 간격이 곧 빠르기의 지도인 셈이라 이 직관이 다음 강의 연속방정식으로 정확한 공식이 돼요.