점성 마찰이 관을 따라 수두를 깎는다
긴 관 끝에서 물이 약하게 나오는 건 점성 마찰이 흐르는 내내 압력을 조금씩 깎아냈기 때문이다. 관을 따라 세운 압력계의 물 높이가 어떻게 내려가는지, 유량을 끌어 본다. 깎인 높이가 길 위의 손실이다.
관을 따라 가느다란 압력계를 세우면 물 높이가 입구에서 출구로 갈수록 계단처럼 내려오는데, 이 높이가 그 지점의 압력 수두다. 유량을 끌면 많이 흐를수록 기울기가 가팔라져 끝에서 더 떨어지는 게 보여요. 점성 마찰이 흐름의 에너지를 길 따라 조금씩 까먹기 때문이다. 계단이 가팔라질수록 끝이 더 목마르다.
관이 길수록 마찰이 작용할 거리가 길어져 손실도 그만큼 커진다. 관 길이 L 을 끌면 수두손실이 정비례로 자라는데, 다른 게 같다면 두 배 긴 관은 두 배의 손실이에요. 그래서 멀리 보내는 송수관일수록 압력을 더 많이 잃는다. 길이만큼 마찰이 일을 한다.
속도가 커지면 손실은 훨씬 더 빠르게 커진다. 난류에서는 수두손실이 속도의 제곱에 비례해서, 속도 v 를 끌면 곡선이 포물선으로 치솟아요. 속도를 두 배로 하면 손실은 네 배라, 유량을 무리하게 올리면 압력이 급격히 부족해진다. 빠르기가 손실을 제곱으로 키운다.
이 모든 게 다르시–바이스바흐 식 하나로 모인다. hf = f LDv²2g, 곧 마찰계수 f, 길이 대 지름 비 LD, 그리고 속도수두 v²2g 의 곱이에요. 속도 v 를 끌면 각 항의 막대와 최종 hf 가 같이 움직이고, 지름 D 가 작을수록 LD 가 커져 손실이 급증한다. 가느다란 관이 같은 길이를 더 비싸게 만든다.
마찰계수 f 는 관 안쪽이 얼마나 거친지에 달려 있다. 상대거칠기 εD 를 끌면 매끈한 새 관은 f 가 작고 녹슬고 거친 낡은 관은 f 가 커져 같은 유량에도 손실이 느는데, 이게 무디 선도가 말하는 바예요. 그래서 오래된 배관은 같은 펌프로도 끝에서 물이 약해진다. 거친 벽이 같은 물을 더 비싸게 보낸다.