차원해석은 흐름을 무차원 수로 묶는다
작은 모형 배 하나로 거대한 실제 배의 저항을 예측할 수 있다. 비결은 단위가 모두 상쇄되는 무차원 수에 있는데, 레이놀즈수의 단위가 어떻게 사라지는지 속도를 끌어 본다. 단위가 사라진 숫자가 모형과 실물을 잇는다.
레이놀즈수 Re = ρvLμ 를 보면, 분자 ρvL 의 단위는 kg·m⁻¹·s⁻¹ 이고 분모 μ 의 단위도 똑같이 kg·m⁻¹·s⁻¹ 이다. 그래서 나누면 단위가 통째로 상쇄돼 순수한 숫자만 남는데, 속도 v 를 끌어 보면 Re 값은 바뀌어도 늘 단위 없는 무차원 수예요. 단위가 사라진 이 수가 흐름의 본질을 담는다. 위와 아래가 같은 단위라 몫만 남는다.
흐름을 지배하는 무차원 수는 다 힘의 경쟁비다. 버튼으로 셋을 비교해 보면, 레이놀즈수 Re = ρvLμ 는 관성 대 점성이고, 프루드수 Fr = v√(gL) 는 관성 대 중력이며, 마하수 Ma = vc 는 흐름 속도 대 음속 곧 압축성이에요. 어느 힘이 이기느냐가 흐름의 성격을 정한다. 관과 날개와 헤엄은 첫째, 배와 수로의 물결은 둘째, 제트와 초음속은 셋째다.
프루드수를 배로 느껴 본다. 배가 빨라지면 뱃머리가 만드는 물결이 길고 거세지는데, Fr = v√(gL) 이 1 에 가까워지면 배는 자기가 만든 뱃머리 파도를 타고 넘으려 안간힘을 써요. 이게 선체의 한계 속도다. 속도를 끌면 물결과 Fr 이 함께 자라는 게 보이고, 그래서 모형 배 실험은 Fr 을 실물과 맞춘다. 같은 수가 같은 물결을 만든다.
무차원 수가 같으면 두 흐름은 똑같이 닮는데, 이게 동역학적 상사다. 실물과 모형의 Re 를 맞추려면 모형을 작게 만든 만큼 흐름을 빠르게 해 v·L 을 일정하게 지키면 되고, 모형 크기를 끌면 작아질수록 풍속이 올라가 두 Re 가 똑같이 유지돼요. 그래서 풍동 속 작은 모형이 실제 비행기의 흐름을 그대로 재현한다. 작아진 만큼 빨라지면 같은 흐름이다.
마지막 보상이다. 크기와 속도가 제각각인 수많은 항력 측정이 무차원으로 그리면 단 하나의 곡선 CD(Re) 위로 포개지는데, Re 를 끌면 점이 이 보편 곡선을 따라 움직여요. 낮은 Re 에서는 점성이 지배해 CD 가 크고 중간에서는 평평하다가, 임계 Re 근처에서 경계층이 난류가 되며 뚝 떨어지는 항력 위기가 나타난다. 무디 선도도 풍동 데이터도 다 이 무차원 곡선이라, 차원해석은 압력과 흐름, 점성, 경계층, 항력까지 한 언어로 묶어 유체역학 전체를 마무리한다.