벡터는 움직임이다

벡터를 움직임으로 본다. (3, 2)는 오른쪽으로 3칸, 위로 2칸 가라는 뜻이다. 화살표를 끌면 옆의 숫자쌍이 같이 바뀌고, 거꾸로 숫자를 바꾸면 화살표가 움직여요. 화살표와 숫자쌍은 똑같은 지시를 두 가지로 적은 것뿐이다. 그림으로 보면 직관적이고 숫자로 적으면 계산하기 좋으니, 상황 따라 편한 쪽으로 보면 된다. 둘 사이를 자유롭게 오가는 게 첫걸음이에요.

벡터를 더한다는 것은 그냥 움직임을 이어붙이는 일이다. 먼저 a만큼 가고 거기서 b만큼 더 가면 최종 도착지가 a + b예요. 화살표를 머리에서 꼬리로 잇는 방식(tip-to-tail)이라, a 끝에서 b를 출발시키면 시작점부터 b 끝까지가 합이 된다. 숫자로는 더 쉬워서 그냥 칸끼리 더하면 되니, (3,2)+(1,4)는 (4,6)이다. 움직임을 이어붙인다, 이게 벡터 덧셈의 전부예요.

벡터에 숫자를 곱하면 같은 방향으로 거리만 바뀐다. 2를 곱하면 두 배 멀리, 0.5를 곱하면 절반만 가고 방향은 그대로다. 음수를 곱하면 길이는 그대로인데 정반대로 뒤집혀요. 슬라이더로 곱하는 수를 움직이면 화살표가 같은 직선 위에서 늘었다 줄었다 뒤집혔다 한다. 벡터에 숫자 곱하기는 방향은 두고 거리만 조절하는 일이에요.

이제 핵심이다. 기본 화살표 둘을 준비한다. 오른쪽으로 한 칸 가는 î, 위로 한 칸 가는 ĵ. 이 둘을 늘리고 더하기만 하면 평면 위 아무 점이나 다 만들 수 있어요. (3, 2)는 î를 3개, ĵ를 2개 쓴 것이라 3î + 2ĵ다. 타깃 점을 끌면 그 점이 î 몇 개와 ĵ 몇 개로 조립되는 게 보인다. 평면 위 모든 벡터는 결국 î 얼마 더하기 ĵ 얼마라는 레시피일 뿐이에요. 5강에서 행렬이 î, ĵ가 가는 자리만 알면 된다고 했던 게 바로 이 때문이다. 모든 점이 î와 ĵ의 조합이니까.

그럼 î와 ĵ로 어디까지 갈 수 있을까. 평면 전체이고, 그게 2차원 공간이라는 말의 뜻이다. 서로 다른 두 방향을 조합해 닿을 수 있는 모든 점이라는 얘기죠. 만약 두 방향이 둘 다 가로로 나란했다면 아무리 더하고 늘여도 가로 직선 하나밖에 못 만들어 평면을 못 채운다. 토글로 두 방향을 나란하게 바꾸면 평면이 선으로 쪼그라들어요. 그러니까 공간이란 내 방향들이 닿을 수 있는 점 전부이고, 방향이 서로 독립적일 때 비로소 평면이 활짝 열린다. (이 나란하면 납작해진다가 6강 행렬식 0과 이어져요.)