벡터는 움직임이다

벡터를 '움직임'으로 봐요. (3, 2)는 '오른쪽으로 3칸, 위로 2칸 가라'는 뜻이에요. 화살표를 드래그해 보세요. 옆에 숫자쌍이 같이 바뀌죠. 거꾸로 숫자를 바꾸면 화살표가 움직이고요. 화살표랑 숫자쌍은 똑같은 지시를 두 가지로 적은 것뿐이에요. 그림으로 보면 직관적이고, 숫자로 적으면 계산하기 좋고. 상황 따라 편한 쪽으로 보면 돼요. 둘 사이를 자유롭게 오가는 게 첫걸음이에요.

벡터를 더하면요? 그냥 움직임을 이어붙이는 거예요. 먼저 a만큼 가고, 거기서 b만큼 더 가면, 최종 도착지가 a + b예요. 화살표를 머리에서 꼬리로 이어 보세요(tip-to-tail). a 끝에서 b를 출발시키면, 시작점부터 b 끝까지가 합이에요. 숫자로는 더 쉬워요. 그냥 칸끼리 더하면 돼요. (3,2)+(1,4)는 (4,6)이죠. 움직임을 이어붙인다, 이게 벡터 덧셈의 전부예요.

벡터에 숫자를 곱하면 어떻게 될까요? 같은 방향으로 거리만 바뀌어요. 2를 곱하면 두 배 멀리, 0.5를 곱하면 절반만. 방향은 그대로예요. 음수를 곱하면? 길이는 그대로인데 정반대로 뒤집혀요. 슬라이더로 곱하는 수를 움직여 보세요. 화살표가 같은 직선 위에서 늘었다 줄었다 뒤집혔다 하죠. 벡터에 숫자 곱하기는 '방향은 두고 거리만 조절'이에요.

이제 핵심이에요. 기본 화살표 둘을 준비해요. 오른쪽으로 한 칸 가는 î, 위로 한 칸 가는 ĵ. 이 둘을 늘리고 더하기만 하면, 평면 위 아무 점이나 다 만들 수 있어요. (3, 2)는요? î를 3개, ĵ를 2개, 그러니까 3î + 2ĵ예요. 타깃 점을 드래그해 보세요. 그 점이 'î 몇 개 + ĵ 몇 개'로 조립되는 게 보일 거예요. 평면 위 모든 벡터는 결국 'î 얼마 + ĵ 얼마'라는 레시피일 뿐이에요. 5강에서 행렬이 'î, ĵ가 가는 자리만 알면 된다'고 했던 게, 바로 이거 때문이었어요. 모든 점이 î와 ĵ의 조합이니까요.

그럼 î와 ĵ로 어디까지 갈 수 있을까요? 평면 전체예요. 그게 '2차원 공간'이라는 말의 뜻이에요. 서로 다른 두 방향을 조합해 닿을 수 있는 모든 점. 만약 두 방향이 둘 다 가로로 나란했다면 어땠을까요? 아무리 더하고 늘여도 가로 직선 하나밖에 못 만들어요. 평면을 못 채우죠. 토글로 두 방향을 나란하게 바꿔 보세요. 평면이 선으로 쪼그라들어요. 그러니까 공간이란 '내 방향들이 닿을 수 있는 점 전부'고, 방향이 서로 독립적일 때 비로소 평면이 활짝 열려요. (이 '나란하면 납작해진다'가 6강 행렬식 0이랑 이어져요.)