테일러는 곡선을 다항식으로 흉내낸다
곡선은 복잡하고 다항식은 다루기 쉽다. 테일러의 발상은 한 점을 정하는 것이다. 그 점에서 곡선과 높이가 같고, 기울기가 같고, 휘는 정도인 2계도함수까지 같고, 더 높은 도함수를 차례로 맞춘 다항식을 쌓는다. 차수를 올릴수록 그 점 근처의 곡선을 더 충실히 닮아요. sin, cos, ex 같은 초월함수도 끝없이 더한 다항식, 곧 멱급수로 적히고, 계산기는 이 방식으로 값을 구한다. 중심에서 멀어지면 근사는 무너진다. 그 무너진 크기가 나머지항, 곧 절단오차이고, 이 묶음의 수치해석은 그 오차와 싸워요. 중심을 어디에 두느냐가 근사가 쓸 만한 구간을 정한다. 그 구간 안에서는 다항식이 곡선을 대신하고, 밖에서는 나머지가 답을 망친다.
차수 슬라이더를 올린다. 차수 1은 접선, 곧 직선뿐이라 회색 곡선을 금방 벗어난다. 차수를 3, 5, 7로 올리면 금색 다항식이 sin 곡선을 더 넓게 감싼다. 어느 차수든 중심, 여기서는 0, 에 가까울수록 잘 맞고 양 끝으로 갈수록 떨어져요. 다항식은 멀리서 반드시 발산하기 때문이다. 항을 충분히 더하면 화면에 보이는 구간에서는 sin 과 거의 겹친다. 슬라이더를 맨 아래에 두면 금색 선은 접선 하나로 남고, 올릴수록 굴곡을 더 따라간다.
이번에는 ex 를 항 하나씩 쌓는다. 첫 항은 1인 상수, 다음은 x, 그다음은 x²/2, x³/6 이고, 각 항은 xᵏ/k! 다. 아래 막대는 x=2 에서 각 항의 크기다. 처음에는 커지다가 팩토리얼(k!)이 분모에서 커지면서 빠르게 작아져요. 그래서 부분합이 한 값으로 모인다. 항을 늘릴수록 T(2)가 참값 e²≈7.39 로 다가간다. 모든 x 에서 이렇게 모이는 함수가 해석함수이고, ex·sin·cos 가 그 대표예요. 모이는 범위, 곧 수렴반경은 바로 다음 이야기에서 이어진다.
주황 막대는 sin 과 금색 다항식 사이의 간격, 곧 오차다. 탐침 x 를 중심 0 근처에 두면 막대가 거의 보이지 않는다. 탐침을 양 끝으로 끌면 어느 순간 막대가 갑자기 길어진다. 차수를 올리면 잘 맞는 구간은 넓어지지만, 그 밖에서는 여전히 터져요. 테일러 근사에서 중요한 것은 중심에서 얼마나 떨어졌는가다. 정확도의 자랑보다 그 거리가 오차를 정한다. 그래서 중심은 궁금한 점 가까이에 잡아요. 막대 아래의 읽기값이 바로 그 간격의 크기다.
차수 1짜리 테일러는 접선 한 걸음이다. 한 점에서 기울기를 재고, 그 직선으로 h 만큼 나아가 다음 값을 예측한다. 초록 점선이 그 예측이고 곡선이 참값이에요. h 가 작으면 둘이 거의 같고, h 를 키우면 주황 간격이 벌어진다. 이 간격이 1차 테일러의 나머지항, 곧 절단오차다. 이 한 걸음이 오일러법이 매 걸음 하는 일과 같다. 미분방정식의 기울기를 받아 직선으로 한 걸음씩 나아간다. 근사와 수치해석은 같은 뿌리이고, 다항식 근사의 나머지항이 수치해법의 오차가 돼요.
함수를 고르면 된다. sin 을 고르고 항을 1로 두면 sin x ≈ x 예요. 진자나 작은 흔들림을 풀 때 쓰는 소각 근사가 바로 이것이고, 각이 작을수록 잘 맞는다. cos 는 1 − x²/2, ex 는 1 + x + x²/2 부터 시작한다. 계산기와 컴퓨터는 sin, cos, ex, 로그를 이런 다항식과 약간의 보정으로 구한다. 곱셈과 덧셈만 하는 기계가 초월함수를 다루는 방법이에요. 필요한 정확도를 정하고, 그만큼 항을 쓰면 된다. 각이 작은 진자에서는 이 한 줄이 운동 방정식 전체를 대신하는 일이 흔하다.