테일러는 곡선을 다항식으로 흉내낸다
곡선은 복잡하고 다항식은 다루기 쉬워요. 테일러의 발상은 단순해요. 한 점을 정하고, 그 점에서 곡선과 높이가 같고, 기울기가 같고, 휘는 정도(2계도함수)가 같고, 이렇게 점점 더 많은 도함수를 맞춰 가는 다항식을 쌓는 거예요. 차수를 올릴수록 그 점 근처에서 곡선을 더 충실히 흉내내요. sin, cos, ex 같은 초월함수도 결국 무한히 더한 다항식(멱급수)으로 적히고, 계산기는 바로 이 방식으로 값을 잽니다. 다만 중심에서 멀어지면 근사는 무너져요. 그 무너짐의 크기가 나머지항(절단오차)이고, 이 묶음의 모든 수치해석이 결국 이 오차와 싸우는 이야기예요.
차수 슬라이더를 올려 보세요. 차수 1은 접선(직선)일 뿐이라 곡선을 금방 벗어나요. 차수를 3, 5, 7로 올리면 다항식이 sin 곡선을 점점 더 넓게 끌어안아요. 핵심은 중심 근처예요. 어떤 차수든 중심(여기선 0)에 가까울수록 잘 맞고, 양 끝으로 갈수록 결국 떨어져 나가요. 다항식은 멀리서 반드시 발산하니까요. 그래도 항을 충분히 더하면 우리가 보는 구간 전체에서 sin 과 거의 구별되지 않게 됩니다.
이번엔 ex 를 항 하나씩 쌓아 봐요. 첫 항은 1(상수), 다음은 x, 그다음은 x²/2, x³/6 식으로, 각 항은 xᵏ/k! 예요. 아래 막대는 x=2 에서 각 항의 크기인데, 처음엔 커지다가 팩토리얼(k!)이 분모에서 폭발하면서 빠르게 작아져요. 그래서 부분합이 한 값으로 모여요. 항을 늘릴수록 T(2)가 참값 e²≈7.39 로 다가가는 걸 보세요. 이렇게 모든 x 에서 모이는 함수가 해석함수이고, ex·sin·cos 가 대표예요. 다음 강에서는 어디까지 모이는지(수렴반경)를 따져요.
빨간 막대는 sin 과 다항식의 간격, 곧 오차예요. 탐침 x 를 중심 0 근처에 두면 막대가 거의 안 보여요. 그런데 탐침을 양 끝으로 끌어 보면, 어느 순간부터 막대가 갑자기 길어져요. 차수를 올리면 잘 맞는 구간이 넓어지지만, 그 너머에선 여전히 폭발해요. 테일러 근사를 쓸 때 가장 중요한 감각이 이거예요. 얼마나 정확한가가 아니라 중심에서 얼마나 떨어졌나가 오차를 정해요. 그래서 실전에선 중심을 내가 궁금한 점 가까이에 잡아요.
차수 1짜리 테일러, 곧 접선 한 걸음만 떼어 봅시다. 한 점에서 기울기를 재고 그 직선으로 h 만큼 나아가 다음 값을 예측해요. 점선이 그 예측이고 곡선이 참값이에요. h 가 작으면 둘이 거의 같지만, h 를 키우면 빨간 간격이 벌어져요. 이 간격이 1차 테일러의 나머지항, 즉 절단오차예요. 그런데 이게 정확히 오일러법(5강)이 한 걸음마다 하는 일이에요. 미분방정식의 기울기를 받아 직선으로 한 걸음씩 전진하는 것. 그래서 근사와 수치해석은 같은 뿌리예요. 다항식 근사의 나머지항이 곧 수치해법의 오차가 됩니다.
함수를 골라 보세요. sin 을 고르고 항을 1로 두면 sin x ≈ x 예요. 물리에서 진자나 작은 흔들림을 풀 때 늘 쓰는 소각 근사가 바로 이것이고, 각이 작을수록 잘 맞아요. cos 는 1 − x²/2, ex 는 1 + x + x²/2 부터 시작하죠. 계산기와 컴퓨터는 sin, cos, ex, 로그를 이런 다항식(과 약간의 보정)으로 잽니다. 곱셈과 덧셈만 할 줄 아는 기계가 초월함수를 다루는 비결이에요. 핵심은 늘 같아요. 필요한 정확도를 정하고, 그만큼 항을 쓰면 됩니다.