큰 정리의 진짜 무대는 3차원이다

먼저 곡면이 무엇인지부터 입체로 본다. 화면에 안장 모양 시트 z = 0.4(x² − y²)가 떠 있는데, 한 방향으로는 올라가고 직각 방향으로는 내려가는 말안장 같은 곡면이다. 화면을 손가락으로 끌어 돌리면 평평한 그림처럼 보이던 것이 사실은 공간 안에 떠 있는 2차원 시트라는 게 보여요. 높은 곳은 금색, 낮은 곳은 파랑으로 칠해져 있다. 곡면 위 한 점에는 법선 화살표 n̂가 수직으로 서 있다. 어느 점에서든 그 자리의 시트에 딱 수직인 방향이다. 슬라이더로 안장을 더 휘게 하면 법선도 따라서 기운다. 곡면은 면이고 그 위 어디든 법선을 하나 세울 수 있다는 것, 이게 곡면 적분의 출발점이에요.

이제 그 곡면을 흐름 속에 놓는다. 위로 고르게 흐르는 장 F = [0, 0, 1.4]가 있고, 평평한 사각 시트가 그 흐름 속에 떠 있다. 시트는 초록으로 칠해지고, 흐름 화살표는 파랑, 시트 위의 바깥 법선은 금색이다. 곡면 플럭스 ∫∫ F·n̂ dS는 이 시트를 통과해 빠져나가는 흐름의 총량이에요. 면 위 작은 조각마다 F·n̂에 그 조각 넓이를 곱해 다 더한 값이다. 기울기 슬라이더로 시트를 흐름과 마주 보게 했다가 옆으로 세우면 차이가 드러난다. 흐름을 정면으로 받을 때는 플럭스가 최대이고, 흐름과 나란히 모로 서면 거의 0으로 떨어진다. 화면을 끌어 돌리면 법선과 흐름이 이루는 각이 입체로 보여요. 플럭스는 결국 면이 흐름을 얼마나 마주 보느냐다.

이제 발산 정리의 진짜 무대다. 평면의 원은 사실 구의 그림자였다. 장은 F = [x, y, z], 원점에서 사방으로 뻗어 나가는 흐름이고 발산은 어디서나 ∇·F = 3이에요. 화면에는 반투명한 금색 구가 떠 있고 표면에는 금색 바깥 법선 화살표가 둘러 있다. 반지름 슬라이더로 구를 키우고 줄이면 두 숫자가 같이 따라온다. 경계 = 구 표면을 통과해 새어 나가는 총 플럭스 ∮∮ F·n̂ dS, 안쪽 = 공 속 발산을 다 더한 부피 적분 ∭ ∇·F dV. 경계 숫자는 금색, 안쪽 숫자는 파랑이고, 둘이 맞으면 초록으로 거의 일치가 뜬다. 어떤 반지름에서든 둘이 거의 일치하는데, 둘 다 4πR³이기 때문이다. 화면을 끌어 돌리면 구 너머의 화살표까지 보여요. 평면의 둘레가 곡면 표면으로, 면적이 부피로 한 차원씩 올라간 같은 정리다.

스토크스 정리는 3D에서 진짜 힘을 보여 준다. 장은 F = [−y, x, 0], 평면에서 반시계로 도는 소용돌이고 회전은 ∇×F = (0, 0, 2)다. 화면에는 z=0 평면에 닫힌 원형 루프가 있고, 루프 자체는 파랑, 둘레를 따라 도는 접선 화살표는 금색이다. 버튼을 누르면 이 루프에 씌우는 덮개 곡면이 평평한 원판과 위로 솟은 돔 사이에서 바뀌어요. 덮개는 금색으로 칠해진다. 핵심은 둘의 모양이 전혀 다른데도 같은 루프를 경계로 가진다는 것이다. 경계 = 루프를 도는 순환 ∮ F·dr, 곡면 = 덮개를 통과하는 회전 플럭스 ∫∫ (∇×F)·n̂ dS, 둘이 거의 일치하고 덮개를 원판으로 바꾸든 돔으로 바꾸든 그 값은 그대로다. 경계 숫자는 금색, 곡면 숫자는 파랑이고, 맞으면 초록이 된다. 반지름 슬라이더로 루프를 키우고 화면을 끌어 돌리면 그게 확인된다. 순환은 경계만으로 정해지고, 그 경계를 막는 어떤 곡면을 통해도 회전의 합은 똑같아요.

마지막으로 2D와 3D를 한 화면에서 포갠다. 버튼으로 두 모드를 오갈 수 있다. 3D를 켜면 바깥 법선이 둘러진 구나 덮개를 씌운 루프가 입체로 뜬다. 가우스 쪽 곡면은 금색, 스토크스 쪽 덮개는 파랑이에요. 2D를 켜면 그게 납작해지면서 평면에서 보던 바로 그 그림이 된다. 평면 위 원에 바깥 화살표가 둘러진 가우스, 또는 접선 화살표가 도는 스토크스다. 다른 버튼으로 가우스와 스토크스도 바꿀 수 있다. 화면을 끌어 돌리면 입체였던 구와 루프가 모로 세워지며 어떻게 평면 그림으로 무너지는지 보인다. 평면의 2D 정리는 틀린 게 아니라 이 3D 정리를 내려다본 그림자였던 것이에요. ∮∮ F·n̂ dS = ∭ ∇·F dV 와 ∮ F·dr = ∫∫ (∇×F)·n̂ dS, 두 줄이 벡터해석 전체를 닫는다.