큰 정리는 안과 경계를 잇는다
발산은 한 점에서 얼마나 새어 나가는지를 재고, 회전은 한 점에서 얼마나 도는지를 잰다. 점 하나가 아니라 영역 전체를 보고 싶을 때가 있다. 영역 안의 작은 발산을 모두 더하면, 그 합은 경계 밖으로 빠져나가는 총량과 같다. 안의 회전을 모두 더하면, 그 합은 경계를 따라 도는 순환과 같아요. 앞의 약속이 가우스 정리이고, 뒤의 약속이 스토크스 정리다. 안에서 일어난 일의 합을 경계 한 줄만 재서 알 수 있다. 넓은 면적분을 짧은 둘레 적분으로 바꾸는 계산의 지름길이에요.
가우스 정리를 원 하나로 본다. 배경은 발산의 색지도라서, 금색은 새어 나오는 곳이고 파랑은 빨려 드는 곳이다. 원 둘레에는 바깥을 향하는 화살표가 서 있고, 금색은 밖으로 나가는 흐름, 파랑은 안으로 들어오는 흐름이에요. 반지름 슬라이더로 원을 키우거나 줄이면 두 숫자가 함께 따라온다. 안쪽 = 원 안의 발산을 모두 더한 값이고, 경계 = 둘레를 가로질러 빠져나가는 총 플럭스다. 반지름이 바뀌어도 둘이 거의 같다. 그것이 가우스 정리다.
이제 그림은 빼고 두 숫자만 나란히 둔다. 왼쪽은 ∫∫ ∇·F dA, 원 안의 발산을 빠짐없이 더한 면적분이다. 오른쪽은 ∮ F·n ds, 원 둘레에서 바깥 방향으로 새어 나가는 플럭스를 한 바퀴 모은 둘레 적분이에요. 반지름 슬라이더를 움직이면 두 값이 손을 잡고 함께 움직이며 거의 같아지고, 가운데의 일치 표시가 그것을 확인해 준다. 한쪽은 원 안을 다 훑어야 하지만, 다른 쪽은 경계선 한 줄이면 된다. 정리가 지름길인 이유가 여기 있어요.
이번에는 스토크스 정리이고, 장도 바뀌었다. 원점 근처에서 반시계로 도는 소용돌이 하나가 있고, 배경은 회전의 색지도다. 금색은 반시계로 도는 곳이라 가운데가 가장 세고, 원 위에는 둘레를 따라 도는 접선 화살표가 서 있다. 반지름 슬라이더를 움직이면 안쪽은 원 안 회전을 모두 더한 값, 경계는 둘레를 따라 도는 순환이 된다. 원을 키우면 두 값이 함께 커지면서 같은 값을 가리켜요. 안의 합과 경계의 적분이 같다는 것이 두 숫자로 보인다.
다시 그림은 빼고 두 숫자만 본다. 왼쪽은 ∫∫ ∇×F dA, 원 안의 회전을 빠짐없이 더한 면적분이다. 오른쪽은 ∮ F·dr, 원 둘레를 따라 장이 끌어 도는 순환을 한 바퀴 모은 둘레 적분이에요. 반지름 슬라이더를 움직이면 두 값이 함께 커지며 거의 같아지고, 가운데의 일치 표시가 확인해 준다. 가우스 정리가 영역의 발산을 경계의 플럭스로 바꿨다면, 스토크스 정리는 면의 회전을 경계의 순환으로 바꾼다. 안에서 도는 양을 모두 더하면 경계가 도는 양과 같아요.
마지막으로 두 정리를 원 하나에 포갠다. 버튼이 하나 있다. 가우스를 누르면 둘레에 바깥을 향하는 법선 화살표가 뜨고, 라벨이 새어 나가는 플럭스 = 안의 발산 합으로 바뀐다. 스토크스를 누르면 같은 둘레가 접선 화살표로 바뀌고, 라벨은 순환 = 안의 회전 합이 돼요. 버튼 하나로 ∇· 와 ∇× 가, 그리고 법선과 접선이 통째로 맞바뀐다. 꼴은 쌍둥이라 둘 다 안에서 더한 미분 = 경계에서 잰 적분이다. 어느 미분을 안에 두고 화살표를 경계에 어떻게 세우느냐만 다르고, 이 한 문장이 벡터 해석을 받치고 있어요.