큰 정리는 안과 경계를 잇는다
발산은 한 점에서 얼마나 새어 나가는지를, 회전은 한 점에서 얼마나 도는지를 쟀다. 그런데 점 하나가 아니라 영역 전체를 보고 싶다면 어떻게 할까. 영역 안의 모든 작은 발산을 더하면 경계 밖으로 빠져나가는 총량과 정확히 같다. 안쪽 회전을 전부 더하면 경계를 따라 도는 순환과 정확히 같아요. 이것이 가우스 정리와 스토크스 정리다. 안에서 벌어지는 일의 합을 경계 한 줄만 재서 알 수 있다는 약속이다. 어려운 부피 적분이 쉬운 둘레 적분으로 바뀌는, 공학 계산의 지름길이에요.
가우스 정리부터 그림으로 본다. 배경은 발산의 히트맵이라 골드는 새어 나오는 곳, 파랑은 빨려드는 곳이다. 원 위에는 바깥 방향 화살표가 둘러 있는데, 골드는 밖으로 나가는 흐름이고 파랑은 안으로 들어오는 흐름이에요. 반지름 슬라이더로 원을 키우고 줄이면 두 숫자가 같이 따라온다. 안쪽 = 원 안 발산을 다 더한 값, 경계 = 둘레를 가로질러 빠져나가는 총 플럭스. 어떤 반지름에서든 둘이 거의 똑같은데, 그게 가우스 정리다.
이제 그림은 빼고 두 숫자만 나란히 둔다. 왼쪽은 ∫∫ ∇·F dA, 원 안의 발산을 빠짐없이 더한 부피 적분이다. 오른쪽은 ∮ F·n ds, 원 둘레에서 바깥 방향으로 새어 나가는 플럭스를 한 바퀴 모은 둘레 적분이에요. 반지름 슬라이더를 움직이면 두 값이 늘 손을 잡고 함께 움직이며 거의 똑같이 맞아떨어지고, 가운데 등호가 그것을 확인해 준다. 한쪽은 영역 전체를 훑어야 하지만 다른 쪽은 경계선 한 줄만 재면 끝난다. 정리가 지름길인 이유가 여기에 있어요.
이번에는 스토크스 정리이고, 장도 바뀌었다. 가운데서 반시계로 도는 소용돌이 하나가 있는 장이고, 배경은 회전의 히트맵이다. 골드는 반시계로 도는 곳이라 가운데가 가장 세고, 원 위에는 둘레를 따라 접선 방향 화살표가 돈다. 반지름 슬라이더를 움직이면 안쪽은 원 안 회전을 다 더한 값, 경계는 둘레를 따라 도는 순환이 된다. 원을 키우면 두 값이 함께 또렷이 커지면서 늘 같은 값을 가리켜요. 안의 합과 경계가 같다는 것이 눈으로 보인다.
다시 그림은 빼고 두 숫자만 본다. 왼쪽은 ∫∫ ∇×F dA, 원 안의 회전을 빠짐없이 더한 부피 적분이다. 오른쪽은 ∮ F·dr, 원 둘레를 따라 장이 끌어 도는 순환을 한 바퀴 모은 둘레 적분이에요. 반지름 슬라이더를 움직이면 두 값이 함께 커지며 거의 똑같이 맞아떨어지고, 가운데 등호가 확인해 준다. 발산정리가 영역의 발산을 경계 플럭스로 바꿨듯이 스토크스 정리는 면의 회전을 경계 순환으로 바꾼다. 안에서 도는 회전을 다 더하면 경계가 도는 양과 똑같아요.
마지막으로 두 정리를 한 그림에 포갠다. 원 하나에 토글이 하나 달려 있다. 가우스를 누르면 둘레에 바깥 방향 법선 화살표가 뜨고 라벨이 '새어 나가는 플럭스 = 안의 발산 합'으로 바뀐다. 스토크스를 누르면 같은 둘레가 접선 방향 화살표로 갈아끼워지고 라벨은 '순환 = 안의 회전 합'이 돼요. 토글 하나로 ∇· 와 ∇× , 법선과 접선이 통째로 맞바뀌는 셈이다. 형태는 쌍둥이라 둘 다 '안에서 더한 미분 = 경계에서 잰 적분'이다. 어느 미분을 안에 두고 화살표를 경계에 어떻게 세우느냐만 다를 뿐이고, 이 한 문장이 벡터해석을 떠받쳐요.