연립방정식은 변환 거꾸로다
연립방정식은 학교에서 가감법이니 대입법이니 하며 기계적으로 풀었다. 식 두 개를 놓고 x랑 y를 하나씩 지우는 식이었는데, 그게 무엇을 하는 일인지는 감이 없었을 것이다. 사실 연립방정식은 어떤 입력에 변환 A를 걸었더니 b가 나왔을 때, 원래 입력이 무엇이었는지 묻는 질문이에요. 변환을 거꾸로 되감는 일이다. 앞의 「행렬은 변환이다」에서 행렬이 변환이라고 했고 「행렬식은 넓이 배율이다」에서 그 변환이 공간을 짜부라뜨릴 수도 있다고 했는데, 두 이야기가 여기서 하나로 만난다. 연립방정식이 언제 풀리고 언제 안 풀리는지가 모두 그 그림 안에 있었어요.
Ax = b라는 식부터 그림으로 본다. A는 변환이고 x는 우리가 모르는 입력, b는 결과다. 평면에 변환 A를 걸면 모든 점이 어딘가로 옮겨 가는데, 그중 딱 b 자리에 떨어지는 점이 우리가 찾는 x예요. 그림의 금색 고리가 결과이고, 파란 화살표가 후보 입력, 초록 화살표가 그 후보에 변환을 건 결과다. 파란 점을 끌어 초록 화살표 끝을 금색 고리에 맞추면 화살표가 금색으로 바뀌고 아래에 답이 적힌다. 연립방정식을 푼다는 것은 결국 결과에 도착하는 입력을 거꾸로 찾는 일이에요.
그렇다고 매번 후보를 찍어 볼 수는 없으니 더 똑똑한 방법이 있다. A가 공간을 휘어 놓았다면 그 휨을 정확히 되돌리는 변환도 있을 텐데, 그게 역행렬 A⁻¹이에요. 그림의 화살표 버튼으로 단계를 넘기면 단위정사각형이 변환을 맞고 찌그러졌다가, 그다음 A⁻¹을 맞고 원래 모양으로 돌아온다. 아래 칸에는 지금 걸린 행렬이 적히는데, 마지막 단계의 행렬은 아무것도 바꾸지 않는 단위행렬이다. 그러니 답은 x = A⁻¹b다. 결과를 거꾸로 도는 변환에 한 번 통과시키면 그게 바로 출발점이 된다. 연립방정식을 푸는 공식은 사실 되감기 버튼이었던 셈이에요.
그런데 답은 언제나 딱 하나일까. 변환이 공간을 짜부라뜨리지 않았다면, 곧 앞 강에서 본 행렬식이 0이 아니라면 그렇다. 변환이 점들을 고르게 펼쳐 놓은 상태라면 결과 b 하나에 떨어지는 입력은 정확히 하나뿐이기 때문이에요. 그림에서 금색 화살표가 결과이고 파란 화살표가 그 결과를 만드는 입력인데, 금색 점을 이리저리 끌면 파란 화살표가 매번 하나씩 따라붙는다. 아래 줄에는 입력의 좌표와 함께 행렬식 값도 적혀 있다. 되돌릴 수 있는 변환에서는 답이 언제나 하나, 이것이 행렬식이 0이 아니면 깔끔하게 풀린다는 말의 진짜 뜻이에요.
이제 행렬식이 0인 경우를 본다. 앞 강에서 봤듯이 평면이 직선 하나로 짜부라지는데, 여기서 묘한 일이 벌어져요. 결과가 그 직선 위에 없으면 거기 도착하는 입력이 아예 없으니 답이 없다. 반대로 결과가 직선 위에 있으면 수많은 입력이 그 한 점으로 뭉개졌으니 답이 무수히 많다. 그림의 굵은 회색 선이 짜부라진 평면이고, 화살표 끝을 끌어 그 선에 올리면 아래 글자가 「해 무한」으로, 선 밖으로 내리면 「해 없음」으로 바뀐다. 답이 없거나 너무 많거나, 둘 중 하나뿐이다. 행렬식에서 역행렬이 없다던 그 말이 연립방정식에서는 깔끔한 답이 안 나온다는 말로 똑같이 나타나는 것이에요.
마지막으로 학교에서 배운 그림과 잇는다. 연립방정식의 두 식을 그래프로 그리면 직선 두 개이고, 답은 두 직선이 만나는 점이다. 두 직선이 만난다는 그림과 방금 본 변환을 거꾸로 푼다는 그림은 똑같은 것이에요. 슬라이더로 행렬식을 줄여 가면 초록 직선과 주황 직선이 점점 나란해지는데, 둘이 만나는 금색 점이 답이다. 행렬식이 0이 되는 순간 두 직선은 평행해서 만나지 않는다. 이때 아래 버튼으로 두 식의 우변을 맞추면 두 직선이 아예 겹쳐 어디서나 만난다. 앞은 답이 없는 경우이고 뒤는 답이 무한한 경우다. 짜부라진 변환이 곧 평행한 직선이었던 셈이라, 두 그림은 사실 한 몸이에요.