연립방정식은 변환 거꾸로다
연립방정식 풀이, 학교에서 가감법이니 대입법이니 기계적으로 했죠. 식 두 개 놓고 x랑 y를 소거하고. 근데 그게 도대체 뭘 하는 건지 감이 없었을 거예요. 사실 연립방정식은 이런 질문이에요. "어떤 입력에 변환 A를 걸었더니 b가 나왔다. 원래 입력이 뭐였지?" 그러니까 변환을 거꾸로 되감는 거예요. 5강에서 행렬이 변환이라고 했고, 6강에서 그 변환이 공간을 짜부라뜨릴 수도 있다고 했죠. 이 두 개가 여기서 하나로 만나요. 연립방정식이 언제 풀리고 언제 안 풀리는지가, 사실 다 그 그림이었거든요.
Ax = b라는 식부터 그림으로 봐요. A는 변환, x는 우리가 모르는 입력, b는 결과예요. 변환 A를 평면에 걸면 모든 점이 어디론가 가죠. 그중에 딱 b 자리에 떨어지는 점, 그게 우리가 찾는 x예요. 후보 점을 드래그해서 A를 통과시켜 보세요. A를 건 결과가 b랑 딱 맞는 자리를 찾으면, 그게 답이에요. 연립방정식을 푼다는 건, 결국 'b에 도착하는 입력을 거꾸로 찾는 일'인 거죠.
그럼 매번 후보를 찍어볼 순 없잖아요. 더 똑똑한 방법이 있어요. A가 공간을 휘어놓은 거라면, 그 휘어놓은 걸 정확히 되돌리는 변환도 있겠죠. 그게 역행렬, 즉 A⁻¹이에요. 보세요. A를 걸어서 격자가 찌그러진 다음, A⁻¹을 걸면 격자가 원래대로 딱 돌아와요. 그러니까 답은 x = A⁻¹b예요. b를 거꾸로 도는 변환에 한 번 통과시키면, 그게 바로 출발점 x죠. 연립방정식 푸는 공식이 사실은 '되감기 버튼'이었던 거예요.
그런데 답이 항상 딱 하나일까요? 변환이 공간을 안 짜부라뜨렸다면, 즉 6강에서 본 행렬식이 0이 아니라면, 그래요. 변환이 점들을 골고루 펼쳐놓은 상태면, 결과 b 하나에 대해 거기 떨어지는 입력은 정확히 하나뿐이거든요. b를 이리저리 움직여 보세요. 그때마다 유일한 x가 따라붙죠. 되돌릴 수 있는 변환에는 답이 언제나 딱 하나, 이게 'det이 0이 아니면 깔끔하게 풀린다'의 진짜 의미예요.
이제 행렬식을 0으로 만들어 봐요. 6강에서 봤듯이 평면이 선 하나로 짜부라지죠. 여기서 묘한 일이 벌어져요. 결과 b가 그 선 위에 없으면? 거기 도착하는 입력이 아예 없어요. 답이 없는 거예요. 반대로 b가 그 선 위에 있으면? 수많은 입력이 그 한 점으로 뭉개졌으니, 답이 무수히 많아요. b를 선 위로 올렸다 내렸다 해보세요. 답이 없거나, 너무 많거나. 6강에서 "역행렬이 없다"던 그 무서운 말이, 연립방정식에선 "깔끔한 답이 안 나온다"로 똑같이 나타나는 거예요.
마지막으로, 학교에서 배운 그림이랑 연결해요. 연립방정식 두 개를 그래프로 그리면 직선 두 개잖아요. 답은 두 직선이 만나는 점이고요. 이 '두 직선이 만난다'는 그림이, 방금 본 '변환을 거꾸로 푼다'는 그림이랑 똑같은 거예요. 그리고 행렬식이 0일 때는? 두 직선이 평행해서 안 만나거나(답 없음), 아예 같은 직선이라 어디서나 만나죠(답 무한). 짜부라진 변환이 곧 평행한 직선이었던 거예요. 두 그림이 사실 한 몸이라는 걸 보세요.