장은 모든 점에 값을 붙인다

먼저 스칼라 장이에요. 점마다 숫자 하나가 붙어 있어요. 색이 따뜻할수록 값이 큰 온도 지도예요. 탐침을 끌고 다녀 보세요. 어느 자리에 갖다 놓든 그 점의 온도가 곧바로 읽혀요. 여기서 중요한 건, 값이 '그 점에 미리 들어 있었다'는 거예요. 탐침은 새로 만드는 게 아니라 이미 거기 있던 값을 읽을 뿐이에요. 공간의 모든 점에 값이 빠짐없이 깔려 있는 것, 그게 장이에요.

장에는 두 종류가 있어요. 점에 붙은 게 숫자 하나면 스칼라 장, 화살표 하나면 벡터 장이에요. 토글을 눌러 둘을 바꿔 보세요. 스칼라 쪽은 고도 지도예요. 점마다 '얼마나 높은가' 하나만 있죠. 벡터 쪽은 바람이에요. 점마다 '어디로, 얼마나 세게' 부는지 화살표가 알려줘요. 같은 공간인데 붙여 놓은 정보의 종류가 달라요. 높이나 온도처럼 크기만 있으면 스칼라, 속도나 힘처럼 방향까지 있어야 하면 벡터예요.

이제 벡터 장을 자세히 봐요. 배경에 옅은 화살표들이 점마다 깔려 있어요. 탐침을 끌면 그 자리의 화살표가 굵게 살아나고, 옆에 (가로, 세로) 성분이 숫자로 떠요. 한 점에서 화살표는 두 가지를 한꺼번에 말해요. 어느 방향인지(기울기), 얼마나 센지(길이). 자리를 옮기면 방향도 세기도 같이 바뀌죠. 벡터 장을 '읽는다'는 건, 관심 있는 점에서 이 화살표가 무엇인지 집어내는 일이에요.

장은 결국 함수예요. 점 (x, y)를 넣으면 화살표 (가로, 세로)가 나오는 규칙. 규칙을 바꾸면 화살표 전부가 한꺼번에 다시 짜여요. 손잡이가 둘이에요. 바깥흐름 s는 원점에서 밀어내거나 끌어당기고, 소용돌이 r은 빙글 돌려요. s만 키우면 사방으로 퍼지는 샘(source), 음수로 내리면 빨아들이는 싱크(sink). r만 키우면 회오리가 돼요. 둘을 섞으면 안으로 감기는 나선도 나오고요. 식 하나가 공간 전체의 화살표를 정한다, 이게 장을 다루는 힘이에요.

장이 왜 그렇게 쓸모 있을까요? 흐름을 정하기 때문이에요. 장에 입자 하나를 떨어뜨려 보세요. 입자는 지금 서 있는 점의 화살표가 가리키는 쪽으로 한 걸음 가고, 새 자리에서 또 그 점의 화살표를 따라 한 걸음 가요. 이걸 반복하면 경로가 그려져요. 이 경로를 유선(streamline)이라고 해요. 씨앗을 여기저기 끌어 보세요. 출발점이 달라지면 따라가는 길도 달라지죠. 바람에 실린 먼지, 강물 위 나뭇잎, 자기장 속 나침반이 다 이렇게 장을 따라가요. 다음 강부터는 이 장이 점에서 점으로 '어떻게 변하는지'를 재기 시작해요.