확률은 넓이다
확률이라고 하면 보통 공식부터 떠올려요. 경우의 수를 세고, 분수로 나누고. 그런데 확률을 훨씬 직관적으로 보는 방법이 있어요. 넓이로 보는 거예요. 일어날 수 있는 모든 결과를 한 판 위에 펼쳐놓는다고 상상해 봐요. 그 판 전체가 표본공간이고, 넓이는 1, 즉 100%예요. 무슨 일이든 반드시 이 판 안에서 일어나니까요. 그러면 어떤 사건은 그 판의 일부 영역이 되고, 그 사건이 일어날 확률은 그 영역이 판에서 차지하는 넓이예요. 절반을 차지하면 확률 0.5, 4분의 1을 차지하면 0.25. 이 한 장의 그림 위에서 확률의 거의 모든 규칙, 합과 교집합, 여사건, 조건부확률, 독립까지가 그냥 넓이를 더하고 빼고 쪼개는 일로 풀려요. 공식을 외우는 대신, 넓이를 눈으로 보면 돼요. 이번 강에서 그 판을 직접 그려가며 확률을 넓이로 만져볼 거예요.
먼저 판부터 만들어요. 일어날 수 있는 모든 결과의 모임을 표본공간이라 하고, 보통 Ω라고 써요. 주사위 두 개를 굴린다면 결과는 (1,1)부터 (6,6)까지 36가지예요. 각 칸이 하나의 결과고, 모두 똑같이 일어날 법하니 각 확률은 136이죠. 36칸을 다 더하면 1, 반드시 무언가는 나오니까요. 그런데 결과가 꼭 셀 수 있는 것만 있는 건 아니에요. 0과 1 사이에서 아무 실수나 고르는 것처럼, 결과가 연속일 수도 있어요. 그럴 땐 표본공간을 칸이 아니라 통째로 단위정사각형 같은 영역으로 봐요. 탭을 눌러 두 경우를 비교해 보세요. 셀 수 있든 연속이든, 핵심은 똑같아요. Ω는 가능한 모든 결과를 담은 판이고, 그 전체의 확률은 항상 1이에요. 이 '전체가 1'이라는 게 모든 계산의 출발점이에요.
이제 사건을 봐요. 사건이란 우리가 관심 있는 결과들의 모임이에요. '두 주사위 합이 7' 같은 것. 판 위에서 사건은 그저 한 영역이에요. 그리고 그 사건이 일어날 확률은, 그 영역이 판 전체에서 차지하는 넓이예요. 전체 넓이를 1로 맞춰뒀으니, 영역의 넓이가 곧 확률이죠. 모서리를 끌어 사건 A의 크기를 바꿔보세요. A가 판의 절반을 덮으면 P(A)는 0.5, 4분의 1만 덮으면 0.25예요. 정말 그런지 점들로 확인할 수 있어요. 판 위에 무작위로 점을 잔뜩 뿌리면, A 안에 떨어진 점의 비율이 A의 넓이에 가까워져요. 이게 몬테카를로라는 방법이고, 컴퓨터가 복잡한 확률을 구하는 실제 방식이에요. 확률을 '넓이' 또는 '영역에 떨어질 비율'로 보면, 추상적이던 숫자가 눈에 보이는 면적이 돼요.
사건이 영역이면, 사건을 조합하는 것도 영역을 조합하는 거예요. 두 사건 A와 B를 겹쳐 두고 버튼을 눌러 보세요. A '또는' B, 즉 합집합 A∪B는 두 영역을 합친 넓이예요. 단, 겹친 부분을 두 번 세면 안 되니까 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B), 겹친 만큼 한 번 빼줘요. A '그리고' B, 즉 교집합 A∩B는 두 영역이 겹친 부분의 넓이예요. 둘 다 동시에 일어나는 경우죠. A가 '아닌' 것, 여사건 Aᶜ는 판 전체에서 A를 뺀 나머지라, P(Aᶜ) = 1 − P(A)예요. 말로 들으면 헷갈리는 '또는·그리고·아닌'이, 그림에선 그냥 영역을 합치고, 겹치고, 도려내는 일이에요. 벤다이어그램이 괜히 있는 게 아니에요. 확률의 논리가 사실은 넓이의 기하학이거든요.
이제 가장 헷갈리지만 가장 강력한 개념, 조건부확률이에요. 'B가 일어났다는 걸 알 때, A가 일어날 확률'을 P(A|B)라고 써요. 그림으로 보면 너무 쉬워요. B가 일어났다는 정보는, 우리의 세계를 통째로 B로 줄여버려요. 이제 B 바깥은 일어나지 않았으니 아예 무대에서 치워요. 토글을 켜면 B 바깥이 어두워지면서 판이 B로 쪼그라드는 게 보여요. 줄어든 새 세계 B 안에서, A는 A∩B 부분만 차지하죠. 그래서 P(A|B) = 넓이(A∩B)넓이(B), 교집합을 새 전체인 B로 나눠요. 분모가 1(전체 Ω)에서 P(B)로 바뀐 것뿐이에요. 조건부확률이란 '전체를 B로 다시 잡고 확률을 새로 재는 것'이에요. 새 정보가 들어오면 표본공간을 줄여 다시 계산한다, 이게 베이즈 추론과 모든 통계적 학습의 씨앗이에요.
마지막으로 독립이에요. 두 사건이 독립이라는 건, 하나가 일어났다는 걸 알아도 다른 하나의 확률이 안 변한다는 뜻이에요. P(A|B) = P(A). B라는 정보가 A에 대해 아무것도 안 알려주는 거죠. 그림으로 만들어 볼게요. 세로선으로 판을 갈라 왼쪽 띠를 A라 하면 P(A)는 그 띠의 폭이에요. 가로선으로 갈라 아래 띠를 B라 하면 P(B)는 그 띠의 높이고요. 두 선을 끌어보세요. A와 B가 동시에 일어나는 영역, A∩B는 왼쪽 아래 직사각형이고, 그 넓이는 폭 곱하기 높이, 즉 P(A) × P(B)예요. 이게 독립의 핵심이에요. P(A∩B) = P(A) · P(B). 곱하기만 하면 되죠. 가로와 세로가 서로 전혀 간섭하지 않으니까, 교집합 넓이가 그냥 두 변의 곱이 되는 거예요. 동전을 두 번 던지거나, 서로 무관한 두 부품의 고장처럼, 한쪽이 다른 쪽에 영향을 안 줄 때 확률은 그냥 곱해져요. 독립은 확률 계산을 곱셈 한 번으로 끝내주는, 가장 고마운 가정이에요.