급수는 멀어지면 무너진다
거듭제곱 급수는 x 의 거듭제곱을 무한히 더한 식이에요. 1 + x + x² + x³ + ... 처럼요. 항을 무한히 더하는데 어떻게 유한한 값이 나올까요? 비밀은 거리에 있어요. 중심에서 반지름 R 만큼 떨어진 안쪽에서는 항이 점점 작아져 합이 한 값에 모여요(수렴). 하지만 R 밖으로 나가면 항이 도리어 커져서 합이 끝없이 부풀어 터져요(발산). 이 경계가 되는 거리 R 을 수렴 반지름이라고 불러요. 가장 깔끔한 예가 등비급수 1 + x + x² + ... = 1/(1-x) 인데, 여기선 R=1 이에요. 정확히 경계 위 x=±R 은 따로 따져 봐야 하는 까다로운 자리예요. 이번 강에서는 부분합이 안에서는 달라붙고 밖에서는 튀어 오르는 모습, 비판정으로 R 을 잡는 법, 그리고 경계의 미묘함까지 직접 만져 봐요.
금색이 부분합 SN(x) = 1 + x + ... + xN 이고, 회색이 참극한 1/(1-x) 예요. 항 수 N 을 키워 보세요. 구간 (-1, 1) 안에서는 N 이 커질수록 금색이 회색에 척척 달라붙어요. 그런데 |x|>1 쪽에서는 정반대예요. N 을 키울수록 금색이 더 가파르게 위아래로 튀며 회색에서 멀어져요. 발산이에요. 관찰점 x 도 옮겨 보세요. 점이 띠 안쪽이면 S 가 1/(1-x) 에 수렴하고, 바깥이면 발산이라고 떠요. 이 한 그림이 거리에 따라 급수가 살거나 죽는다는 이번 강의 핵심을 다 담고 있어요.
반지름은 어떻게 구할까요? 비판정이 답이에요. 잇단 두 항의 크기 비 |다음 항 / 지금 항| 을 봐요. Σ xⁿ 에서는 이 비가 |x| 로 늘 일정해요. 막대는 항의 크기 |x|ⁿ 이에요. x 슬라이더를 움직여 보세요. |x|<1 이면 비가 1 보다 작아 막대가 차례로 줄고(초록·수렴), |x|>1 이면 막대가 점점 커져요(빨강·발산). 비가 딱 1 이 되는 |x|=1 이 바로 수렴과 발산의 경계, 즉 반지름이에요. 비판정은 이 경계 자체에서는 침묵해요. 그건 다음 두 블록에서 따로 다뤄요.
이제 반지름을 수직선 위에서 직접 잡아 봐요. 급수 Σ(x/a)ⁿ 의 수렴 반지름은 R=a 예요. 중심 0 둘레의 금색 띠가 수렴 구간 (-R, R) 이에요. 반지름 슬라이더로 R 을 키우면 띠가 넓어지고, 줄이면 좁아져요. 관찰점 x 를 옮겨 보세요. 점이 띠 안에 있으면 초록(|x|<R, 수렴), 띠 밖으로 나가면 빨강(발산)으로 바뀌어요. 수렴은 결국 거리 |x| 가 반지름 R 보다 가까운가 하는 단순한 한 줄 조건이에요. 양수든 음수든 절댓값만 따지니, 수렴 영역은 늘 중심 대칭인 구간이에요.
반지름이 같아도 경계에서의 운명은 제각각이에요. 세 급수를 골라 보세요. 셋 다 반지름은 1 인데, 경계 x=±1 에서 다르게 행동해요. Σxⁿ 은 양끝 모두 발산해요. Σxⁿ/n 은 x=-1 에서는 교대로 더해지며 수렴하지만 x=+1 에서는 조화급수가 되어 발산해요. Σxⁿ/n² 은 항이 더 빨리 작아져 양끝 모두 수렴해요. 막대는 부분합이 흘러가는 추이예요. 한 값에 잦아들면 수렴, 끝없이 흐르거나 튀면 발산이죠. 경계는 비판정이 손을 놓는 자리라, 이렇게 급수마다 따로 살펴야 해요.
마지막으로 닻이 되는 등비급수로 돌아와요. 1 + x + x² + ... = 1/(1-x), 단 |x|<1 일 때만이에요. 막대 하나가 항 xⁿ 이고, 위에서부터 차곡차곡 쌓이며 합이 초록 점선 위치, 즉 1/(1-x) 로 모여요. 비 x 를 0.6 처럼 양수로 두면 막대가 같은 쪽으로 점점 짧아지며 한 값에 안착해요. x 를 음수로 하면 막대가 기준선 좌우로 번갈아 서며 서로 깎아내는데, 그래도 |x|<1 이라 결국 한 값에 모여요. 이 그림이 보여 주는 게 거듭제곱 급수의 본질이에요. 항이 충분히 빨리 줄어야만, 즉 거리가 반지름 안이라야만 무한합이 유한해져요.