적분 근사는 넓이를 조각으로 잰다
정적분은 곡선 아래의 넓이다. 손으로 적분할 공식 해가 없는 함수가 많다. 실험처럼 점만 있고 식 자체가 없을 때도 있어요. 발상은 단순하다. 구간 [a,b] 를 가는 세로 조각으로 자르고, 각 조각의 넓이를 쉬운 도형으로 어림해 더한다. 직사각형으로 메우면 거칠고, 윗변을 비스듬히 이은 사다리꼴은 더 낫고, 두 칸씩 묶어 포물선으로 맞추면 훨씬 정확해져요. 조각을 잘게 할수록, 곧 n 을 키울수록 참값에 다가가는데 다가가는 속도는 규칙마다 다르다. 참값이 알려진 적분 하나, f=1+sin x, 답은 π+2, 를 두고 세 규칙이 같은 노력으로 얼마나 다른 정확도를 내는지 아래 그림이 견준다. 금색 막대가 그 조각이고, 회색 곡선이 적분할 함수다. 오차는 참값에서 추정값을 뺀 크기로 그림 아래에 적힌다.
회색 곡선이 f(x)=1+sin x 이고, 구할 넓이는 [0,π] 사이 그 아래다. 참값은 정확히 π+2≈5.1416 이라 오차를 그대로 잴 수 있어요. 금색 막대가 구간을 n 조각으로 자른 직사각형이다. 위쪽 버튼으로 막대 높이를 왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 중점 가운데 고른다. n 슬라이더를 키우면 막대가 가늘어지고 추정값이 참값으로 다가가요. 왼쪽 끝과 오른쪽 끝은 한쪽으로 치우치지만, 중점은 위아래 오차가 상쇄되어 보통 가장 정확하다. 그림 아래의 숫자가 지금 어림과 참값의 차이다.
같은 적분이고 같은 참값 π+2 다. 이번에는 막대 윗변을 평평하게 두지 않고 양 끝점을 직선으로 이어 사다리꼴로 메운다. 직사각형은 곡선과 막대 사이에 빈 삼각형을 남기지만, 사다리꼴은 그 비탈을 직선으로 따라가 빈틈을 크게 줄여요. n 슬라이더를 움직이면 같은 n 에서 앞 그림의 1차 어림보다 오차가 작다. 사다리꼴 오차는 h² 에 비례해서 n 을 두 배로 늘리면 오차가 대략 1/4 로 떨어져요. 직사각형이 1/2 로 주는 것과 견주면 한 차원 빠른 수렴이다.
사다리꼴은 곡선을 직선으로 어림했다. 곡선을 곡선으로 어림하면 어떨까. 심프슨 규칙은 구간을 두 칸씩 묶고, 그 세 점을 지나는 포물선으로 곡선을 맞춘다. 직선이 놓친 휘어짐까지 잡아내요. 점선이 참 곡선이고, 그 위에 거의 포개진 금색이 포물선 어림이다. n 을 짝수로 움직이면 오차의 숫자가 사다리꼴보다 자릿수만큼 작아진다. 심프슨 오차는 h⁴ 에 비례해서 n 을 두 배 하면 오차가 1/16 로 떨어져요. 같은 조각 수로 정밀함이 크게 좋아진다.
세 규칙의 정체를 한 그림에 모은다. 세로축은 log10(오차), 가로축은 조각 수 n 이다. 규칙을 고르고 n 을 쓸면 오차가 떨어지는 곡선이 그려져요. 떨어지는 기울기가 정확도의 차수 p 이고, 읽기값에 그 추정이 뜬다. 직사각형은 완만하게(p≈1), 사다리꼴은 그보다 가파르게(p≈2), 심프슨은 절벽처럼(p≈4) 떨어져요. 곡선이 가파를수록 같은 n 의 증가가 오차를 더 깎는다. 심프슨은 기계가 구분하는 가장 작은 수에 닿으면 더는 내려가지 않는다.
마지막으로 셋을 같은 조건에서 나란히 견준다. 막대 셋은 같은 n, 곧 같은 계산량을 쓴 중점과 사다리꼴과 심프슨의 오차다. 세로는 로그 눈금이라 막대 길이가 오차의 자릿수예요. n 을 움직이면 셋 다 짧아지지만 심프슨 막대가 다른 둘을 눌러 놓는다. 같은 노력을 들여도 어떤 공식을 고르느냐가 정확도를 자릿수로 가른다. 수치해석에서 중요한 것은 무작정 n 을 키우는 일이 아니라 더 나은 규칙을 고르는 일이에요. 같은 조각 수로 세 규칙을 견주는 것이 이 비교의 핵심이다. 같은 눈금에서 짧은 막대가 더 정확한 규칙이다.