적분 근사는 넓이를 조각으로 잰다
정적분은 곡선 아래 넓이다. 하지만 손으로 적분할 공식 해가 없는 함수가 수두룩하다. 실험 데이터처럼 점만 있고 식 자체가 없을 때도 많아요. 그럼 넓이를 어떻게 구할까. 발상은 초등학교 넓이만큼 단순하다. 구간 [a,b] 를 가는 세로 조각으로 자르고, 각 조각의 넓이를 쉬운 도형으로 어림해 다 더하는 것이다. 직사각형으로 메우면 거칠고, 윗변을 비스듬히 잘라 사다리꼴로 메우면 더 낫고, 두 칸씩 묶어 포물선으로 맞추면 훨씬 정확해져요. 조각을 잘게 쪼갤수록, 곧 n 을 키울수록 참값에 다가가는데 그 다가가는 속도는 규칙마다 다르다. 이 강에서는 참값이 정확히 알려진 적분 하나(f=1+sin x, 답 π+2)를 두고, 세 규칙이 같은 노력으로 얼마나 다른 정확도를 내는지 눈으로 비교한다.
회색 곡선이 f(x)=1+sin x 이고, 우리가 구할 넓이는 [0,π] 사이 그 아래다. 참값은 정확히 π+2≈5.1416 이라 오차를 진짜로 잴 수 있어요. 금색 막대가 구간을 n 조각으로 자른 직사각형이다. 위 토글로 막대 높이를 왼끝과 오른끝과 중점 중 무엇으로 잡을지 고른다. n 슬라이더를 키우면 막대가 가늘어지고 추정값이 참값으로 다가가요. 왼끝과 오른끝은 한쪽으로 치우쳐 어림하지만 중점은 위아래 오차가 상쇄돼 보통 가장 정확하다.
같은 적분, 같은 참값 π+2 다. 이번에는 막대 윗변을 평평하게 두는 대신 양 끝점을 직선으로 이어 사다리꼴로 메운다. 직사각형은 곡선과 막대 사이에 빈 삼각형을 남기지만, 사다리꼴은 그 비스듬한 부분을 직선으로 따라가 빈틈을 크게 줄여요. n 슬라이더를 움직이면 같은 n 에서 블록1보다 오차가 작은 게 확인된다. 사다리꼴 오차는 h² 에 비례해서 n 을 두 배로 늘리면 오차가 대략 1/4 로 떨어져요. 직사각형이 1/2 로 주는 것과 비교하면 한 차원 빠른 수렴이다.
사다리꼴은 곡선을 직선으로 어림했다. 곡선을 곡선으로 어림하면 어떨까. 심프슨 규칙은 구간을 두 칸씩 묶고, 그 세 점을 정확히 지나는 포물선으로 곡선을 맞춘다. 직선이 못 잡던 휘어짐까지 잡아내요. 점선이 참 곡선이고, 그 위에 거의 포개진 금색이 포물선 어림이다. n 을 짝수로 움직이면 오차 숫자가 사다리꼴보다 자릿수째 작아진다. 심프슨 오차는 h⁴ 에 비례해서 n 을 두 배 하면 오차가 무려 1/16 로 떨어져요. 같은 조각 수로 정밀함이 폭발적으로 좋아지는 것이다.
이제 세 규칙의 정체를 한 그림으로 폭로한다. 세로축은 log10(오차), 가로축은 조각 수 n 이다. 규칙을 고르고 n 을 쓸어 보면 오차가 떨어지는 곡선이 그려져요. 핵심은 떨어지는 기울기다. 그게 정확도 차수 p 이고, 리드아웃에 추정치가 뜬다. 직사각형은 완만하게(p≈1), 사다리꼴은 그보다 가파르게(p≈2), 심프슨은 절벽처럼(p≈4) 떨어져요. 곡선이 가파를수록 같은 n 증가가 오차를 훨씬 더 깎아 준다. 단, 심프슨은 기계정밀도 바닥에 닿으면 더는 내려가지 않는다.
마지막으로 셋을 나란히 세워 같은 조건에서 정면으로 비교한다. 막대 셋은 같은 n, 곧 똑같은 계산량을 쓴 중점과 사다리꼴과 심프슨의 오차다. 세로는 로그 눈금이라 막대 길이가 오차의 자릿수예요. n 을 움직이면 셋 다 짧아지지만 심프슨 막대가 다른 둘을 압도적으로 짓누른다. 메시지는 분명하다. 똑같은 노력을 들여도 어떤 공식을 고르느냐가 정확도를 자릿수 단위로 갈라놓아요. 수치해석의 핵심 교훈은 무작정 n 을 키우는 게 아니라 더 똑똑한 규칙을 고르는 것이다.