많이 더하면 무엇이든 종 모양이 된다
세상에는 분포가 수없이 많은데 유독 한 모양이 어디에나 나타난다. 종 모양, 곧 정규분포다. 사람들의 키, 시험 점수, 측정 오차, 공장 부품의 치수, 심지어 통계의 표본평균까지 출처가 전혀 다른데도 다들 약속이나 한 듯 가운데가 봉긋한 좌우대칭 종을 그려요. 왜 하필 이 모양이 이토록 흔할까. 답은 우아하고 강력하다. 서로 독립인 작은 무작위 요인을 많이 더하면, 각 요인이 원래 어떤 모양이든 그 합은 종 모양으로 수렴한다. 이것이 중심극한정리, 통계학에서 가장 깊고 아름다운 결과예요. 키가 정규분포를 따르는 것은 수많은 유전자와 환경 요인이 더해진 결과이고, 측정 오차가 정규분포인 것은 수많은 작은 떨림이 합쳐진 결과다. 앞 강에서 분포를 중심과 퍼짐 두 숫자로 요약했는데, 정규분포는 바로 그 두 숫자, 평균과 표준편차만으로 완전히 정해져요. 확률 · 통계 줄기의 마지막인 이 강에서는 종 모양이 왜 어디에나 나타나는지, 그리고 그 자 하나로 세상을 어떻게 재는지 본다.
먼저 종 모양 자체와 친해진다. 정규분포는 평균에서 가장 높고 양옆으로 대칭을 이루며 부드럽게 내려간다. 놀라운 것은 이 곡선이 단 두 숫자, 평균 μ와 표준편차 σ만으로 완전히 정해진다는 점이에요. μ는 봉우리의 위치인 중심, σ는 종의 폭이다. 그리고 정규분포에는 외워 둘 만한 멋진 규칙이 하나 있다. 68-95-99.7 규칙이다. 버튼으로 폭을 고르면 평균에서 ±1σ 안에 전체의 약 68%가, ±2σ 안에 약 95%가, ±3σ 안에 약 99.7%가 들어오는 것이 칠해진 넓이로 드러나요. 다시 말해 정규분포를 따르는 값은 거의 언제나(99.7%) 평균에서 3σ 이내에 있고, 3σ를 벗어나는 일은 천 번에 세 번꼴로 드물다. σ가 자연스러운 자(ruler)인 셈이다. 평균에서 몇 σ 떨어졌는지가 곧 얼마나 드문 일인지를 말한다. 이 규칙 하나로 어떤 측정값이 정상인지 이상한지를 바로 판단할 수 있어요.
이제 종 모양이 어떻게 저절로 생겨나는지 본다. 주사위 하나를 던지면 1부터 6까지 확률이 똑같아서 분포가 평평한 직사각형이고, 종과는 거리가 멀다. 그런데 주사위를 여러 개 던져 합을 보면 마법이 일어나요. 버튼으로 주사위 개수를 늘린다. 두 개만 더해도 평평하던 분포가 7을 꼭대기로 하는 삼각형이 되고, 세 개, 네 개로 늘리면 모서리가 둥글어지면서 점점 종 모양에 가까워진다. 파란 막대가 합의 확률이고, 금색 곡선이 같은 평균과 퍼짐을 가진 정규분포다. 왜 그럴까. 합이 아주 작으려면 모든 주사위가 동시에 작은 눈을 내야 하는데 그런 일은 드물고, 합이 가운데쯤이 되는 길은 수없이 많기 때문이에요. 그래서 중간값이 압도적으로 자주 나와 봉우리가 생긴다. 재료인 주사위 하나는 전혀 종 모양이 아닌데, 몇 개만 더해도 종이 나타나는 것이다. 이것이 중심극한정리가 움직이는 모습을 가장 단순하게 드러내는 예다.
주사위는 원래 대칭이라 쉬운 예였다고 할 수 있다. 그렇다면 대놓고 한쪽으로 치우친 분포라면 어떨까. 여기 지수분포가 있는데, 0 근처가 가장 많고 오른쪽으로 긴 꼬리를 끄는, 전혀 대칭이 아닌 분포예요. 이 치우친 분포에서 N개를 뽑아 평균을 내고, 그 평균값을 많이 모아 히스토그램을 그린다. 아래 트랙에서 표본 크기 N을 키운다. N=1이면 원래의 치우친 모양 그대로지만, N을 키우면 놀랍게도 표본평균의 분포가 점점 대칭인 종 모양이 되고 동시에 점점 좁아져요. 원천이 아무리 비뚤어져 있어도 충분히 많이 뽑아 평균을 내면 그 평균은 정규분포로 수렴한다. 이것이 중심극한정리의 핵심이다. 그리고 그 폭은 N이 커질수록 1√N로 줄어들고, 아래에 그 값이 적힌다. 표본을 4배 늘리면 평균의 흩어짐이 절반이 되는 것이다. 그래서 표본이 많을수록 평균의 추정이 정밀해지고, 여론조사가 몇천 명에게만 물어도 꽤 정확한 까닭이 바로 이것이에요.
정규분포가 어디에나 나타난다면 모든 정규분포를 하나의 표준 자로 통일하면 편하다. 그것이 z 표준화예요. 어떤 정규분포 N(μ, σ)의 값 X를, 평균에서 얼마나 떨어졌는지를 σ 단위로 바꾼다. 식으로는 z = (X − μ)σ. 먼저 μ를 빼서 중심을 0으로 옮기고, σ로 나눠 폭을 1로 맞추는 것이다. 앞 강에서 본 aX+b 변환의 한 경우다(a=1σ, b=−μσ). 아래 두 트랙으로 μ와 σ를 아무리 바꿔도 곡선 아래 z 눈금은 늘 0, ±1, ±2로 고정되어 있어요. 금색 윗줄의 x값은 분포마다 다르지만, 파란 아랫줄의 z값으로 재면 모든 정규분포가 똑같은 표준정규 N(0, 1)이 된다. 이것이 강력한 까닭은, 표준정규 하나만 표나 함수로 갖고 있으면 세상 모든 정규분포의 확률을 z로 바꿔 그 표 하나로 다 읽을 수 있기 때문이에요. 키가 175cm일 확률이든 주가 수익률이든 z로 바꾸면 같은 자로 잴 수 있다.
마지막으로 이 모든 것이 공학에서 어떻게 쓰이는지 본다. 똑같은 양을 여러 번 측정해도 매번 값이 조금씩 다르다. 그 흩어짐은 수많은 작은 잡음이 더해진 것이라 중심극한정리에 따라 정규분포를 따른다. 그림의 측정점들도 평균 주위에 종 모양으로 퍼져 있어요. 여기에 68-95-99.7 규칙을 적용한다. 버튼으로 띠의 폭을 바꾸면 띠 안의 점은 금색, 밖의 점은 붉은색으로 갈리고, 측정값들의 약 95%가 평균 ±2σ 안에 들어오는 것이 보인다. 「다시 측정」을 누르면 새 측정점으로 같은 비율을 다시 확인할 수 있다. 이것을 뒤집으면, 참값은 측정 평균에서 ±2σ 안에 있을 것이라고 약 95% 확신할 수 있는데, 이것이 신뢰구간이에요. 측정 결과를 5.0 ± 0.2처럼 적을 때의 그 ±가 바로 이것이다. 공학에서 어떤 숫자도 ± 없이 혼자 다니지 않는다. 부품 치수의 공차, 실험값의 오차 범위, 여론조사의 표본오차, 센서의 정밀도가 모두 추정값 ± 몇 σ로 표현된다. 그래서 통계는 평균이 얼마라고 말하는 언어가 아니라, 평균이 이 범위 안에 있고 그것을 이만큼 확신한다고 말하는 언어예요. 정규분포와 중심극한정리가 그 확신에 숫자를 붙인다. 이 강으로 확률 · 통계 줄기를 마친다. 선형대수의 변환과 고유값, 복소수의 회전, 미분방정식의 흐름과 안정성, 그리고 확률의 분포와 추정까지, 공대생의 도구상자에 든 기본 연장이 한 손에 들어왔다.