많이 더하면 무엇이든 종 모양이 된다
세상에는 분포가 수없이 많은데 유독 한 모양이 어디에나 나타난다. 종 모양, 정규분포다. 사람들의 키, 시험 점수, 측정 오차, 공장 부품의 치수, 심지어 통계의 표본평균까지 출처가 전혀 다른데도 다들 약속이나 한 듯 가운데가 봉긋한 좌우대칭 종을 그려요. 왜 하필 이 모양이 이렇게 흔할까. 답은 우아하고 강력하다. 서로 독립인 작은 무작위 요인을 많이 더하면, 원래 각 요인이 어떤 모양이든 상관없이 그 합은 종 모양으로 수렴한다. 이게 중심극한정리, 통계학에서 가장 깊고 아름다운 결과예요. 키가 정규분포인 건 유전자 수천 개와 환경 요인이 더해진 결과이고, 측정 오차가 정규분포인 건 수많은 작은 떨림이 합쳐진 결과다. E3에서 분포를 중심과 퍼짐 두 숫자로 요약했는데, 정규분포는 바로 그 두 숫자, 평균과 표준편차만으로 완전히 결정돼요. 이번 마지막 강에서 종 모양이 왜 어디에나 나타나는지, 그리고 그 자 하나로 세상을 어떻게 재는지 본다.
먼저 종 모양 자체와 친해진다. 정규분포는 평균에서 가장 높고 양옆으로 대칭으로 부드럽게 내려간다. 놀라운 건 이 곡선이 단 두 숫자, 평균 μ와 표준편차 σ만으로 완전히 정해진다는 점이에요. μ는 봉우리의 위치인 중심, σ는 종의 폭이다. 그리고 정규분포에는 외워둘 만한 멋진 규칙이 하나 있다. 68-95-99.7 규칙이다. 버튼을 누르면 평균에서 ±1σ 안에 전체의 약 68%가, ±2σ 안에 약 95%가, ±3σ 안에 약 99.7%가 들어오는 게 보여요. 다시 말해 정규분포를 따르는 값은 거의 항상(99.7%) 평균에서 3σ 이내에 있고, 3σ를 벗어나는 일은 천 번에 세 번꼴로 드물다. σ가 자연스러운 자(ruler)인 것이다. 평균에서 몇 σ 떨어졌나가 곧 얼마나 드문 일인가를 말해 준다. 이 규칙 하나로 이 측정값은 정상인가 이상한가를 바로 판단할 수 있어요.
이제 종 모양이 어떻게 저절로 생겨나는지 본다. 주사위 하나를 던지면 1부터 6까지 확률이 똑같아서 분포가 평평한 직사각형, 종이랑은 거리가 멀다. 그런데 주사위를 여러 개 던져 합을 보면 마법이 일어나요. 버튼으로 주사위 개수를 늘려 본다. 두 개만 더해도 평평하던 분포가 7을 꼭대기로 하는 삼각형이 되고, 세 개 네 개로 늘리면 모서리가 둥글어지면서 점점 종 모양에 가까워진다. 왜 그럴까. 합이 매우 작으려면 모든 주사위가 동시에 작은 눈이 나와야 하는데 그건 드물고, 합이 가운데쯤 되는 길은 수없이 많기 때문이에요. 그래서 중간값이 압도적으로 자주 나와 봉우리가 생긴다. 원래 재료인 주사위 하나는 전혀 종 모양이 아닌데 그걸 몇 개만 더해도 종이 나타나는 것이다. 이게 중심극한정리가 작동하는 모습을 가장 단순하게 보여 주는 예다.
주사위는 원래 대칭이라 좀 봐줬다고 할 수 있다. 그럼 대놓고 한쪽으로 치우친 분포라면 어떨까. 여기 지수분포가 있는데, 0 근처가 가장 많고 오른쪽으로 긴 꼬리를 끄는 전혀 대칭이 아닌 분포예요. 이 치우친 분포에서 N개를 뽑아 평균을 내고, 그 평균값을 많이 모아 히스토그램을 그린다. 슬라이더로 표본 크기 N을 키워 본다. N=1이면 원래의 치우친 모양 그대로지만, N을 키우면 놀랍게도 표본평균의 분포가 점점 대칭 종 모양이 되고 동시에 점점 좁아져요. 원천이 아무리 비뚤어져 있어도 충분히 많이 뽑아 평균 내면 그 평균은 정규분포로 수렴한다. 이게 중심극한정리의 핵심이다. 그리고 폭이 N이 커질수록 1√N로 줄어든다. 표본을 4배 늘리면 평균의 흩어짐이 절반이 되는 것이다. 그래서 표본이 많을수록 평균 추정이 정밀해지고, 여론조사가 몇 천 명만 물어도 꽤 정확한 이유가 바로 이것이에요.
정규분포가 어디에나 나타난다면 모든 정규분포를 하나의 표준 자로 통일하면 편하다. 그게 z 표준화예요. 어떤 정규분포 N(μ, σ)의 값 X를, 평균에서 얼마나 떨어졌는지를 σ 단위로 바꾼다. 식으로 z = (X − μ)σ. 먼저 μ를 빼서 중심을 0으로 옮기고, σ로 나눠서 폭을 1로 맞추는 것이다. E3에서 본 aX+b 변환의 한 경우다(a=1σ, b=−μσ). 슬라이더로 μ와 σ를 아무리 바꿔도 곡선 아래 z 눈금은 늘 0, ±1, ±2로 고정돼 있어요. x값인 윗줄은 분포마다 다르지만, z값인 아랫줄로 재면 모든 정규분포가 똑같은 표준정규 N(0, 1)이 된다. 이게 강력한 이유는 표준정규 하나만 표나 함수로 갖고 있으면 세상 모든 정규분포의 확률을 z로 바꿔서 그 표 하나로 다 읽을 수 있기 때문이에요. 키가 175cm일 확률이든 주가 수익률이든 z로 바꾸면 같은 자로 잴 수 있다.
마지막으로 이 모든 게 공학에서 어떻게 쓰이는지 본다. 똑같은 양을 여러 번 측정해도 매번 값이 조금씩 다르다. 그 흩어짐은 수많은 작은 잡음이 더해진 거라 중심극한정리에 의해 정규분포를 따른다. 측정점들을 보면 평균 주위에 종 모양으로 퍼져 있어요. 여기에 68-95-99.7 규칙을 적용한다. 버튼으로 띠 폭을 바꾸면 측정값들의 약 95%가 평균 ±2σ 안에 들어오는 게 보인다. 이걸 뒤집으면 참값은 측정 평균에서 ±2σ 안에 있을 것이라고 약 95% 확신할 수 있는데, 이게 신뢰구간이에요. 측정 결과를 5.0 ± 0.2처럼 적는 그 ±가 바로 이것이다. 공학에서 어떤 숫자도 ± 없이 혼자 다니지 않는다. 부품 치수의 공차, 실험값의 오차범위, 여론조사의 표본오차, 센서의 정밀도가 모두 추정값 ± 몇 σ로 말해진다. 그래서 통계는 평균이 얼마다가 아니라 평균이 이 범위 안에 있고 그걸 이만큼 확신한다를 말하는 언어예요. 정규분포와 중심극한정리가 그 확신에 숫자를 붙여 준다. 이걸로 공업수학 한 바퀴를 마친다. 선형대수의 변환과 고유값, 복소수의 회전, 미분방정식의 흐름과 안정성, 그리고 확률의 분포와 추정까지 공대생의 도구상자가 한 손에 들어왔다.