선형성은 쪼개도 된다는 약속이다

어떤 변환이 선형이라는 것은 딱 두 규칙을 지킨다는 뜻이다. 첫째, 더하고 변환하나 변환하고 더하나 결과가 같다. 둘째, 두 배 키워서 변환하나 변환하고 두 배 키우나 결과가 같아요. 벡터 a, b를 끌면서 두 경로가 항상 같은 자리에 도착하는지 화면에서 직접 확인할 수 있다. 이 두 규칙만 지키면 그 변환은 선형이다. 별것 아닌 것 같지만 이 별것 아닌 약속이 모든 걸 가능하게 해요.

첫째 규칙부터 자세히 본다. 벡터 a랑 b를 먼저 더한 다음(a+b) 변환하는 길과, 따로 변환한 다음 그 결과를 더하는 길이 있다. 두 길의 도착지가 정확히 같으니, 더하기를 먼저 하든 변환을 먼저 하든 상관없다는 뜻이에요. a, b를 이리저리 옮겨도 두 길은 늘 같은 점에서 만난다. 그러니까 합쳐진 것을 통째로 다룰 필요 없이 부분을 따로 다뤄도 된다.

둘째 규칙이다. 벡터 v를 3배로 늘린 다음 변환한 것과, v를 변환한 다음 3배로 늘린 것이 역시 같다. 입력을 두 배 키우면 출력도 딱 두 배, 세 배면 세 배로 군더더기 없이 비례해요. 슬라이더로 배수를 바꿔 보면 늘이는 순서를 앞에 두나 뒤에 두나 같은 결과다. 입력에 한 만큼 출력에 그대로 반영된다, 이게 선형의 핵심 감각이에요.

이 두 규칙을 합치면 엄청난 것이 나온다. 어떤 벡터든 2강에서처럼 î 조각과 ĵ 조각으로 쪼갤 수 있고, 선형성 덕분에 변환은 각 조각에 따로 작용하고 결과만 다시 합치면 된다. 그러니까 변환(아무 벡터) = (그 벡터의 î 양) 곱하기 변환(î) + (ĵ 양) 곱하기 변환(ĵ)이에요. 변환이 î와 ĵ를 어디로 보내는지만 알면 나머지 무한히 많은 벡터는 전부 따라온다. 벡터를 끌면 그게 î·ĵ 조각으로 갈라졌다가 변환 후 다시 합쳐지는 과정이 보인다. 5강에서 행렬이 î, ĵ 두 열만 적으면 됐던 이유가 바로 이것이고, 선형성이 나머지를 책임져 주는 것이에요.

이 규칙에는 공학에서 쓰는 유명한 이름이 있다. 중첩원리다. 입력 A가 출력 A를 만들고 입력 B가 출력 B를 만들면, 입력 A+B는 정확히 출력 A+B를 만든다. 합쳐도 깜짝 놀랄 일이 없다는 얘기예요. 그래서 지저분한 입력을 단순한 조각으로 쪼개고 각각 풀고 답을 더하면 끝난다. 소리를 순수한 음들로 쪼개는 것(다음 푸리에에서 나온다), 회로의 여러 전원을 따로 계산해 더하는 것이 다 이 중첩이다. 반대로 선형이 아닌 것은 이게 안 되니, 제곱만 봐도 (a+b)²은 a²+b²이 아니다. 합치면 엉뚱한 게 튀어나오죠. 그래서 우리가 깔끔하게 풀 수 있는 문제는 거의 다 선형이에요.