선적분은 길을 따라 쌓은 일이다
바람 부는 들판을 가로질러 걷는다고 하자. 바람이 등을 밀면 걸음이 가볍고, 앞에서 막으면 걸음이 무겁다. 한 걸음마다 그 자리 바람이 진행 방향을 얼마나 도왔는지를 모두 더하면, 길을 따라 받은 도움의 합이 된다. 이것이 선적분 ∫ F·dr 이고, 장이 경로를 따라 한 일(work)이다. 출발과 도착이 같아도 어느 길로 갔느냐에 따라 합이 달라질 수 있다. 어떤 특별한 장에서는 길이 전혀 상관없어요. 그 차이가 어디서 오는지를 아래 그림이 짚어요. 중력이나 고른 전기력은 길이 상관없는 쪽에 서고, 소용돌이치는 바람은 길에 따라 답이 갈린다.
소용돌이 장 안에서 파란 출발점 A와 파란 도착점 B는 고정이다. 가운데 금색 점을 끌어 길을 휘면, 경로를 따라 한 일 W가 곧바로 다시 계산된다. 길 위의 토막은 그 자리 화살표가 진행을 도우면 초록, 가로막으면 주황으로 칠해져요. 소용돌이와 같은 쪽으로 휘면 길이 통째로 초록이 되고 W가 양수로 오른다. 거스르는 쪽으로 휘면 통째로 주황이 되고 W가 음수로 떨어진다. 같은 A에서 같은 B로 가는데도 W가 오르내리니, 시작과 끝만으로는 답이 정해지지 않는다. 그림 아래의 금색 숫자가 바로 그 일이고, 길을 휘는 동안 그 숫자가 따라 움직인다.
이번에는 A에서 B로 가는 두 길을 나란히 놓는다. 위로 크게 도는 호와 아래로 도는 호다. 버튼을 눌러 활성 경로를 바꾸면 그 길이 밝아지고 다른 길은 흐려지며, 각 길의 일과 둘의 차이가 숫자로 떠요. 장이 빙글 도는 소용돌이라, 같은 두 점을 잇는데도 위 길과 아래 길의 값이 다르다. 그 차이는 두 길을 이어 만든 닫힌 고리를 한 바퀴 도는 순환과 같다. 회전이 있는 장에서는 경로가 답을 바꾼다는 것이 두 숫자의 차이로 보여요.
선적분이 실제로 어떻게 쌓이는지 한 점씩 본다. 이번 장은 한결같이 북쪽으로 부는 바람이고, 길은 위로 솟았다 내려오는 호다. 슬라이더 t로 곡선 위의 한 점을 고르면 두 화살표가 함께 나타나요. 바람 화살표는 금색, 진행 방향의 단위 접선은 파랑이고, 둘의 내적 F·t̂가 그 순간의 보탬이다. 오르막에서는 바람이 등을 밀어 F·t̂가 양수로 쌓이고, 마루를 넘어 내리막이 되면 바람을 거슬러 음수로 깎인다. 슬라이더를 밀면 부분 합이 마루에서 가장 커졌다가 다시 줄어든다. 선적분은 이 작은 F·t̂를 길을 따라 모두 더한 것이에요.
여기서 두 종류의 장이 갈린다. 버튼을 누르면 차이가 곧바로 드러나요. 보존장은 어떤 퍼텐셜의 그래디언트라서, A에서 B로 가는 금색 직선과 파란 우회 호의 일이 정확히 같다. 답이 시작과 끝의 차이뿐이라 길은 상관없다. 소용돌이 장으로 바꾸면 두 길의 값이 갈라진다. 같은 두 점, 같은 두 길인데 장의 성질 하나가 모든 것을 가른다. 두 숫자 아래 줄이 초록으로 두 값이 같다고 적히거나, 주황으로 두 값이 다르다고 적히는 것이 보존장의 표식이에요.
마지막으로 일이 토막마다 어떻게 쌓이는지 직접 걸어 본다. 아까와 같이 북쪽으로 부는 바람 속에서, 위로 솟았다 내려오는 호가 짧은 토막으로 나뉘어 있다. 한 걸음 버튼을 누를 때마다 다음 토막으로 한 칸 나아가고, 지나온 길은 금색으로 밝아지며 남은 길은 흐리게 남아요. 왼쪽 오르막에서는 바람이 등을 밀어 양의 일을 더하고, 마루를 넘은 오른쪽 내리막에서는 바람을 거슬러 음의 일을 깎는다. 방금 토막의 부호가 뜨고, 아래 막대는 누적 일이 양이면 초록, 음이면 주황이다. 되돌리기를 누르면 처음부터 다시 걷는다. 선적분은 이렇게 한 토막씩 더해 나가는 과정이에요.