라플라시안은 이웃 평균과의 차이다
한 점에 서서 바로 둘레의 이웃들이 가진 값을 평균 낸다고 하자. 그 평균이 내가 선 자리의 값보다 높으면 나는 이웃들보다 우묵하게 꺼진 자리에 있는 것이고, 평균보다 낮으면 솟아오른 봉우리다. 이 차이가 바로 라플라시안이에요. 그래디언트의 발산(∇·∇f), 곧 ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²이고, 결국 이웃 평균에서 내가 얼마나 벗어났나를 한 숫자로 잰 것이다. 봉우리에서는 음수, 우묵한 곳에서는 양수가 된다. 이 한 양이 열이 퍼지는 방식과 막이 팽팽해지는 모양, 전위가 자리잡는 규칙까지 모두 끌고 가요. 벡터해석 묶음(그래디언트·발산·회전)을 한 점의 2계 미분으로 마무리하는 연산자다.
장 위에서 탐침을 끌면 그 자리마다 작은 고리로 이웃 표본 점 여섯 개가 둘린다. 화면 아래에는 세 숫자가 뜬다. 가운데 값, 이웃 여섯 점의 평균, 그리고 그 둘의 차이에 비례하는 ∇²f다. 오른쪽 위 봉우리에 두면 이웃 평균이 가운데보다 낮아서 ∇²f가 음수로 내려가 파란 봉우리가 돼요. 왼쪽 아래 우묵한 곳에 두면 이웃 평균이 더 높아 ∇²f가 양수로 올라 골드 우묵이 된다. 라플라시안이 결국 이웃들 평균에서 내가 얼마나 벗어났나라는 한 숫자라는 것을 손으로 확인하는 자리예요.
이번에는 같은 장에서 라플라시안이 왜 그래디언트의 발산인지 본다. 탐침을 끌면 그 둘레 고리에 그래디언트 화살표 여섯 개가 뜨고, 각 화살표는 그 자리에서 가장 가파른 오르막을 가리킨다. 봉우리 위에서는 화살표들이 모두 탐침 쪽으로 모여드는데, 오르막이 안쪽 봉우리를 향하기 때문이에요. 안으로 모이는 흐름은 발산이 음수라 ∇·∇f < 0이 된다. 우묵한 곳 위에서는 화살표들이 모두 바깥으로 뻗어 발산이 양수라 ∇·∇f > 0이다. 화면에는 '∇²f = ∇·(∇f)'와 그 살아 있는 값이 같이 뜬다. 발산(3강)이 그래디언트(2강)에 한 번 더 작용한 것이 라플라시안이라는 사실을 화살표로 직접 보는 셈이에요.
이제 한 점이 아니라 장 전체의 라플라시안을 색으로 본다. 슬라이더 s는 오른쪽 위 봉우리의 높이를 0.5에서 3까지 바꾸고, 배경 색이 곧 ∇²f의 지도가 된다. 골드는 우묵(∇²f > 0, 평균보다 아래), 파랑은 봉우리(∇²f < 0, 평균보다 위)이고, 봉우리 꼭대기와 우묵 바닥이 가장 진하게 뜬다. s를 키우면 오른쪽 위 봉우리가 솟아오르며 그 자리의 파란 영역이 더 짙고 넓어져요. s를 줄이면 그 봉우리가 사그라들며 파랑이 옅어진다. 왼쪽 아래 우묵은 s와 무관하게 골드로 남는다. 슬라이더 하나가 라플라시안 지도 전체를 다시 칠하는 셈이에요.
라플라시안이 어디서나 0인 장을 조화 장(harmonic)이라고 부른다. 버튼을 누르면 두 장이 번갈아 나타나요. 하나는 h(x,y) = x·y, 안장 모양이다. 모든 점에서 가로로 오목한 만큼 세로로 볼록해서 둘이 정확히 상쇄해 ∇²h = 0이 되고, 가운데에 둔 표본의 ∇² 판이 거의 0으로 뜬다. 다른 하나는 b(x,y) = 가우시안 봉우리, 진짜 솟은 혹이라 가운데에서 ∇²b가 또렷한 음수다. 핵심은 조화 장이 안쪽에 봉우리도 우묵도 가질 수 없다는 것이에요. 모든 점이 이웃들의 평균과 같으니 가장 높거나 낮은 곳은 늘 경계에만 있다. 이게 정상 상태 열과 전위와 막의 깊은 규칙이다.
라플라시안이 왜 확산의 엔진인지 본다. 열 방정식은 ∂f/∂t = ∇²f이고, 매 순간 각 점의 값이 라플라시안만큼 변한다는 뜻이다. 우묵한 곳(∇²f > 0)은 올라오고 봉우리(∇²f < 0)는 내려가니, 모든 곳이 이웃 평균 쪽으로 끌려가요. 격자에 봉우리 둘을 얹은 울퉁불퉁한 시작 상태가 있고, 한 걸음 버튼을 누를 때마다 각 칸이 이웃 평균 쪽으로 한 발짝 다가간다. 자동 반복은 없어서 누를 때만 한 걸음씩 간다. 누를수록 봉우리는 낮아지고 골은 메워지며 색이 고르게 풀리고, 되돌리기를 누르면 처음 울퉁불퉁한 상태로 돌아간다. 걸음 수를 세다 보면 라플라시안이 차이를 지워 가는 과정이 단계로 드러나요.