라플라시안은 이웃 평균과의 차이다

장 위에서 탐침을 끌면 그 자리에 작은 고리가 이웃 점 여섯 개를 두른다. 화면 아래에는 세 숫자가 뜬다. 가운데 값, 이웃 여섯 점의 평균, 그리고 그 차이에 비례하는 ∇²f다. 오른쪽 위 봉우리에 두면 이웃 평균이 가운데보다 낮아서 ∇²f가 음수로 내려가 파란 봉우리가 돼요. 왼쪽 아래 우묵한 곳에 두면 이웃 평균이 더 높아 ∇²f가 양수로 올라 금색 우묵이 된다. 라플라시안이 이웃 평균에서 내가 얼마나 벗어났는가라는 한 숫자임을 손으로 확인하는 자리예요. 고리를 봉우리와 우묵 사이로 천천히 옮기면 음수이던 차이가 양수로 넘어가는 능선이 보이고, 그 능선에서 가운데 값과 이웃 평균이 같아진다.

같은 장에서 라플라시안이 왜 그래디언트의 발산인지 본다. 탐침을 끌면 둘레 고리에 그래디언트 화살표 여섯 개가 뜨고, 각 화살표는 그 자리에서 가장 가파른 오르막을 가리킨다. 봉우리 위에서는 화살표가 모두 탐침 쪽으로 모인다. 오르막이 안쪽 봉우리를 향하기 때문이에요. 안으로 모이는 흐름은 발산이 음수라 ∇·∇f < 0이 된다. 우묵한 곳에서는 화살표가 모두 바깥으로 뻗어 발산이 양수라 ∇·∇f > 0이다. 화면에는 ∇²f = ∇·(∇f)와 그 살아 있는 값이 함께 뜬다. 발산에 그래디언트를 한 번 더 넣은 것이 라플라시안이라는 사실을 화살표로 보는 자리예요. 화살표가 한곳으로 모이면 그 점은 높이를 내어 주는 쪽이고, 사방으로 뻗으면 그 점은 둘레에서 높이를 받아 채우는 쪽이다.

한 점이 아니라 장 전체의 라플라시안을 색으로 본다. 슬라이더 s는 오른쪽 위 봉우리의 높이를 0.5에서 3까지 바꾸고, 배경 색이 ∇²f의 지도가 된다. 금색은 우묵(∇²f > 0, 평균보다 아래), 파랑은 봉우리(∇²f < 0, 평균보다 위)이고, 봉우리 꼭대기와 우묵 바닥이 가장 진하다. s를 키우면 오른쪽 위 봉우리가 솟으며 그 자리의 파란 영역이 더 짙고 넓어져요. s를 줄이면 그 봉우리가 사그라들며 파랑이 옅어진다. 왼쪽 아래 우묵은 s와 상관없이 금색으로 남는다. 슬라이더 하나가 라플라시안 지도 전체를 다시 칠해요. 색이 진한 자리는 이웃과 차이가 크고, 회색에 가까운 자리는 이미 이웃과 거의 같아서 더 풀릴 것이 적다.

라플라시안이 어디서나 0인 장을 조화 장(harmonic)이라고 부른다. 버튼을 누르면 두 장이 번갈아 나타나요. 하나는 h(x,y) = x·y, 안장이다. 모든 점에서 가로로 오목한 만큼 세로로 볼록해서 둘이 상쇄하고 ∇²h = 0이 되며, 가운데 표본의 ∇² 판이 거의 0으로 뜬다. 다른 하나는 b(x,y) = 가우시안 봉우리라 가운데에서 ∇²b가 또렷한 음수다. 조화 장은 안쪽에 봉우리도 우묵도 가질 수 없어요. 모든 점이 이웃의 평균과 같으니 가장 높거나 낮은 곳은 늘 경계에만 있다. 정상 상태의 열과 전위와 막의 규칙이 이것이다. 그래서 테두리의 온도만 정하면 안쪽은 따라오고, 테두리의 전위만 정하면 빈 칸은 스스로 채워진다.

라플라시안이 확산의 엔진인 까닭을 본다. 열 방정식은 ∂f/∂t = ∇²f이고, 매 순간 각 점의 값이 라플라시안만큼 변한다는 뜻이다. 우묵한 곳(∇²f > 0)은 올라오고 봉우리(∇²f < 0)는 내려가니, 모든 곳이 이웃 평균 쪽으로 끌려가요. 격자에 봉우리 둘을 얹은 울퉁불퉁한 시작이 있고, 한 걸음 버튼을 누를 때마다 각 칸이 이웃 평균 쪽으로 한 발 다가간다. 자동으로 반복되지 않아서 누를 때만 한 걸음 간다. 누를수록 봉우리는 낮아지고 골은 메워지며 색이 고르게 풀리고, 되돌리기를 누르면 처음의 울퉁불퉁한 상태로 돌아간다. 걸음을 세다 보면 라플라시안이 차이를 지워 가는 과정이 단계로 드러나요. 오래 누르면 처음의 울퉁불퉁은 사라지고, 격자 전체가 하나의 잔잔한 색으로 남는다.