내적은 공간에 기하를 부여한다

초록 벡터 u는 가로로 고정하고 파란 벡터 v를 끌면, 화면 아래의 네 숫자가 따라온다. 내적 <u,v>, u의 길이, v의 길이, 그리고 둘 사이의 각도다. v를 u와 같은 쪽으로 길게 뻗으면 내적이 커지고, 직각으로 세우면 내적이 0이 되고, 반대로 돌리면 음수가 돼요. 내적 하나가 길이와 각도를 한 상자에 담는다. 길이도, 각도도, 직각인지도 이 하나의 양에서 풀려 나온다. 초록과 파랑이 그 두 벡터다. 네 숫자 가운데 내적이 나머지 셋을 낳는다.

먼저 길이다. 한 벡터를 자기 자신과 내적하면 <v,v> 가 나오고, 이것이 길이의 제곱이에요. 길이 ||v|| 는 <v,v> 의 제곱근이다. v를 끌면 화살표 끝까지의 반지름이 그 길이고, 점선으로 그린 단위원은 길이가 정확히 1인 벡터들의 모임이다. v를 단위원 위에 올리면 <v,v> 가 딱 1이 돼요. 길이를 따로 정의하지 않아도 내적만 있으면 길이가 따라 나온다. 자기 자신과의 내적이 그 벡터의 길이의 제곱이라는 한 문장이 노름의 출발점이에요. 점선 원이 그 길이의 기준이다.

이제 내적 자체를 바꾼다. 가중 내적은 <u,v>_w = w1·u1·v1 + w2·u2·v2 로, 두 축에 다른 무게를 준다. 슬라이더 w1, w2 를 움직이면 길이가 1인 벡터들의 모임, 곧 단위공이 원이 아니라 타원이 돼요. 반축의 길이는 1/sqrt(w1) 과 1/sqrt(w2) 라서, 어느 축의 무게를 키울수록 그 방향은 짧아진다. 그 방향으로는 거리가 더 비싸게 매겨지기 때문이다. 벡터는 그대로인데 무엇을 길다고 부를지가 바뀌며 기하가 휘어요. 키와 몸무게처럼 축마다 단위가 다른 데이터를 다룰 때, 쓰는 것이 가중 내적이다. 타원의 긴 축이 무게가 가벼운 방향이다.

직교도 내적으로 정의된다. 두 벡터가 직교한다는 것은 <u,v>_w = 0 이라는 뜻이에요. 한 축에 더 무거운 가중치를 고정하고 v의 각도만 슬라이더로 돌린다. 가중 내적이 0을 지나는 순간 v가 밝아진다. 그 순간 화면 위의 u와 v는 90도로 보이지 않아요. 무게가 공간을 휘어, 그 세계의 직각이 눈의 직각과 어긋난다. 직각은 눈에 보이는 90도가 아니라 내적이 0이라는 사실이다. 어떤 내적을 쓰느냐가 무엇이 직교인지를 정해요. 밝아진 화살표가 그 세계의 직각이다.

마지막으로 함수도 벡터다. 두 함수의 내적은 구간 위에서 둘을 곱해 적분한 값 <f,g> = ∫ f·g 예요. f = sin(x) 로 고정하고 슬라이더로 g = sin(kx) 의 정수 주파수 k를 바꾼다. 곱 f·g 의 넓이가 음영으로 칠해지고, k가 1일 때는 양의 넓이가 남는다. k가 1이 아닌 정수가 되면 양수 부분과 음수 부분이 상쇄되어 적분이 0, 곧 직교가 돼요. 서로 다른 주파수의 사인파는 함수 공간에서 서로 직각이다. 신호를 주파수별로 나누는 푸리에 변환이 이 직교 위에 서 있다. 주파수가 다르면 곱의 넓이가 서로를 지운다. 함수의 곱이 칠해진 넓이가 그 내적이다. 음영이 기준선 위아래로 나뉘면 적분이 상쇄된다.