그래디언트는 안 돌고, 회전은 안 샌다
세 강을 거치며 두 연산자를 손에 쥐었어요. 발산은 '퍼지나', 회전은 '도나'를 묻죠. 그런데 이 둘 사이엔 절대 깨지지 않는 약속이 두 개 있어요. 그래디언트로 만든 장은 아무리 비틀어도 회전이 정확히 0이고(∇×(∇φ)=0), 회전으로 만든 장은 아무리 휘저어도 발산이 정확히 0이에요(∇·(∇×A)=0). 그래디언트는 오를 수는 있어도 돌 줄을 모르고, 소용돌이는 돌 수는 있어도 샐 줄을 몰라요. 더 놀라운 건 그 역이에요. 세상의 어떤 장이든 '순수한 샘 조각'과 '순수한 소용돌이 조각'의 합으로 쪼개진다는 것. 이게 헬름홀츠 분해예요. 한 장을 두 성격으로 갈라, 어디가 흐름의 근원이고 어디가 빙빙 도는 부분인지 따로 떼어 보게 해줘요.
스칼라 봉우리 φ가 있고, 그 위로 그래디언트 화살표(∇φ)가 깔려 있어요. 화살표는 모두 봉우리 꼭대기를 향해 오르막을 가리키죠. 슬라이더로 봉우리 높이를 키웠다 줄였다 해보세요. 화살표는 길어지고 짧아지며 출렁이는데, 옆에 있는 회전 색지도는 처음부터 끝까지 한 가지 중립색이에요. 어떻게 흔들어도 ∇×(∇φ)가 0에서 꿈쩍도 않거든요. 그래디언트 장은 '오르막'이라는 한 방향감만 있어서, 빙 도는 성분이 애초에 생길 수 없어요. 오를 수는 있어도, 돌 줄은 모르는 거예요.
이번엔 반대쪽이에요. 흐름함수 ψ에서 소용돌이 장을 만들어요. 가로 성분은 ∂ψ/∂y, 세로 성분은 −∂ψ/∂x로 짜는데, 이렇게 만들면 화살표가 둘레를 따라 빙글 돌아요. 슬라이더로 ψ의 세기를 키워 보세요. 소용돌이는 거세지고 약해지며 출렁이는데, 옆 발산 색지도는 또 한 가지 중립색 그대로예요. ∇·(소용돌이)가 0에서 안 움직이거든요. 흐름함수로 빚은 장은 들어온 만큼 정확히 나가서, 어느 점에서도 새거나 모이지 않아요. 돌 수는 있어도, 샐 줄은 모르는 거예요. (3차원의 ∇·(∇×A)=0이 2D에선 이렇게 나타나요.)
이제 둘을 더한 일반 장 F를 봐요. 토글로 세 모습을 오가요. 먼저 전체 장 F는 화살표가 한쪽으로 솟구치면서 동시에 빙 돌아, 샘인지 소용돌이인지 한눈엔 헷갈려요. 다음 '샘 조각'을 누르면 그래디언트 부분(∇φ)만 남아 봉우리에서 사방으로 뻗는 순수한 흐름이 드러나요. '소용돌이 조각'을 누르면 흐름함수 부분만 남아 빙빙 도는 결이 보이고요. 같은 F를 두 성격으로 갈라낸 거예요. 어떤 복잡한 장도 이렇게 샘 조각 더하기 소용돌이 조각으로 쪼개진다는 게 헬름홀츠 분해의 핵심이에요.
샘 조각만 따로 떼어 봐요. 화살표는 그래디언트 부분(∇φ)이고, 배경 색은 그것의 발산이에요. 회전이 0인 건 앞에서 봤죠. 그런데 발산은 0이 아니에요. 봉우리 안쪽은 진한 색으로 물들어, 흐름의 샘과 싱크가 전부 여기 모여 있다는 걸 보여줘요. 탐침을 끌어 보세요. 어느 점에 놓아도 회전 판은 0 근처에 머물고(돌지 않음), 발산 판은 자리에 따라 또렷이 양수·음수로 갈려요. 한 장에서 '흐름이 태어나고 사라지는 부분'은 통째로 이 샘 조각이 떠맡고 있어요. 소용돌이는 전혀 없이요.
이번엔 소용돌이 조각만 떼어 봐요. 화살표는 흐름함수 부분이고, 배경 색은 그것의 회전이에요. 발산이 0인 건 둘째 블록에서 봤죠. 그런데 회전은 0이 아니에요. 두 소용돌이 자리는 진한 색으로 물들어, 장이 도는 부분이 전부 여기 모여 있어요. 탐침을 끌어 보세요. 어느 점에 놓아도 발산 판은 0 근처에 머물고(새지 않음), 회전 판은 자리에 따라 또렷이 반시계·시계로 갈려요. 결국 한 장은 두 조각이에요. 샘 조각이 모든 발산을, 소용돌이 조각이 모든 회전을 나눠 가져요. 발산과 회전, 두 강에서 배운 두 얼굴이 여기서 한 장으로 합쳐졌다 다시 깔끔히 갈라지는 거예요.