기댓값은 무게중심, 분산은 퍼짐이다
앞 강에서 분포는 확률의 퍼짐 전체 모양이라고 했죠. 그런데 분포 하나를 통째로 들고 다니기는 무거워요. 실무에선 분포를 딱 두 숫자로 요약해요. 어디쯤에 모여 있나, 그리고 얼마나 넓게 퍼져 있나. 이 두 가지가 기댓값과 분산이에요. 기댓값 E[X]는 분포의 중심, 정확히 말하면 무게중심이에요. 분포를 막대들의 무게로 보면, 그 막대들이 정확히 균형을 이루는 받침점 자리가 기댓값이죠. '평균적으로 이 값 근처가 나온다'를 한 점으로 찍은 거예요. 분산은 그 중심에서 값들이 평균적으로 얼마나 멀리 흩어져 있나, 퍼짐의 크기예요. 같은 중심이라도 옹기종기 모였는지 넓게 퍼졌는지가 완전히 다른 상황이니까요. 이번 강에서 기댓값을 저울의 균형점으로, 분산을 거리 제곱의 평균으로 직접 만져보며, 분포를 요약하는 두 숫자의 의미를 몸으로 익혀요.
먼저 기댓값을 저울로 느껴봐요. 막대(보) 위에 무게가 서로 다른 추 몇 개를 올려놨어요. 큰 추는 무겁고 작은 추는 가벼워요. 이 막대가 정확히 균형을 이루는 받침점, 거기가 바로 무게중심이에요. 추를 끌어 옮겨 보세요. 받침점이 즉시 따라 움직여서 다시 균형을 잡아요. 무거운 추 쪽으로 받침점이 쏠리는 게 보이죠. 가벼운 추를 아무리 멀리 보내도 받침점은 별로 안 움직이지만, 무거운 추를 조금만 옮겨도 크게 따라와요. 이게 정확히 기댓값이에요. 확률에서 '추의 무게'는 그 값이 나올 확률이고, '추의 위치'는 그 값이에요. 확률이 높은 값일수록 평균을 세게 끌어당기죠. 그래서 기댓값은 '확률이라는 무게로 잰 중심', 분포가 균형을 이루는 단 하나의 점이에요.
그 균형점을 어떻게 계산할까요? 가중평균이에요. 그냥 값을 다 더해 개수로 나누는 평범한 평균이 아니에요. 각 값에 그 값이 나올 확률을 곱해서 더해요. 식으로는 E[X] = Σ x·p(x). 주사위를 예로 들면, 정상 주사위는 1부터 6까지 확률이 똑같이 16이라 평균이 3.5예요. 그런데 무게가 한쪽으로 쏠린 '편향된 주사위'라면 얘기가 달라져요. 막대 높이를 끌어 특정 눈의 확률을 키워 보세요. 그 눈이 자주 나오게 되면, 평균 E[X]가 그 눈 쪽으로 끌려가요. 확률이 큰 값일수록 합에 더 크게 기여하니까요. 각 값은 자기 확률만큼의 '발언권'을 가지고 평균 자리를 두고 줄다리기를 하는 셈이에요. 블록 1의 무게중심을 숫자로 옮기면 바로 이 가중합이에요. 무게 = 확률, 위치 = 값, 균형점 = Σ x·p(x).
중심을 알았으면, 이제 퍼짐을 재요. 분산이에요. 핵심 질문은 '값들이 평균에서 평균적으로 얼마나 멀리 떨어져 있나'예요. 그냥 거리를 평균 내면 안 돼요. 평균보다 큰 쪽은 양수, 작은 쪽은 음수라 서로 상쇄돼 0이 돼버리거든요. 그래서 거리를 제곱해요. 제곱하면 부호가 사라지고 다 양수가 되죠. 점들을 끌어 흩뜨려 보세요. 각 점에서 평균까지의 거리를 한 변으로 하는 정사각형이 그려져요. 그 정사각형의 넓이가 바로 거리의 제곱이에요. 분산은 이 모든 정사각형 넓이의 평균이에요. 점들이 평균 근처에 옹기종기 모이면 정사각형들이 작아 분산이 작고, 넓게 흩어지면 정사각형들이 커져 분산이 확 커져요. 거리를 제곱했으니 멀리 떨어진 점일수록 훨씬 더 크게 벌을 받아요. 그래서 분산은 극단값에 민감한, 퍼짐의 엄격한 척도예요.
분산에는 한 가지 불편함이 있어요. 거리를 제곱했으니 단위도 제곱이 돼버려요. 키를 cm로 쟀다면 분산의 단위는 cm², 넓이 단위죠. '키의 퍼짐이 25 제곱센티미터'라니 와닿지가 않아요. 그래서 제곱한 걸 다시 제곱근으로 풀어줘요. 그게 표준편차예요. 표준편차 = √분산이고, 단위가 다시 cm로 돌아와 X와 같은 단위가 돼요. '키의 퍼짐이 5cm'는 바로 이해되죠. 정규곡선에서 σ를 끌어 보세요. 표준편차 σ는 종 모양 곡선의 자연스러운 '폭', 가운데 봉우리에서 어깨가 휘는 지점까지의 거리예요. σ가 작으면 곡선이 좁고 뾰족하게, 크면 넓고 펑퍼짐하게 변하죠. 정리하면, 분산 σ²는 계산하기 좋은 제곱 단위의 양이고, 표준편차 σ는 실제로 '얼마나 흩어졌나'를 원래 단위로 느끼게 해주는, 우리가 일상에서 쓰는 폭이에요.
마지막으로, 값에 손을 대면 이 두 숫자가 어떻게 변하는지 봐요. 단위 변환이나 보정처럼, X를 aX+b로 바꾸는 일은 아주 흔해요. 섭씨를 화씨로, 미터를 피트로 바꿀 때죠. 슬라이더로 a와 b를 움직여 보세요. 먼저 b는 모두에게 같은 값을 더하는 거라, 분포를 모양 그대로 옆으로 통째로 밀어요. 그러니 평균도 b만큼 옮겨가지만, 퍼진 정도는 하나도 안 변해요. 다 같이 움직였으니 서로의 거리는 그대로니까요. 반면 a는 늘이거나 줄여요. 평균은 a배가 되고, 곡선의 폭도 a배로 늘어나요. 그래서 표준편차는 |a|배, 분산은 거리를 제곱한 양이라 a²배가 돼요. 식으로 E[aX+b]=aE[X]+b, Var(aX+b)=a²Var(X). 더하기는 중심만 옮기고 퍼짐은 그대로, 곱하기는 중심과 퍼짐을 같이 늘이되 분산은 제곱으로. 이 규칙 덕분에 단위를 바꿔도, 데이터를 표준화해도, 통계량이 어떻게 따라 변할지 머릿속으로 바로 계산할 수 있어요.