e^{iθ}는 단위원 위의 회전이다

먼저 e^iθ가 무엇인지 눈으로 본다. 금색 점을 잡고 원을 따라 돌리면 점은 언제나 반지름 1짜리 원, 곧 단위원 위에 있어요. 각도 θ가 그 점의 위치를 정한다. 가로로 얼마나 갔는지가 cos θ, 세로로 얼마나 갔는지가 sin θ이고, 두 축으로 내린 초록과 주황 점선이 그 길이를 짚으며 아래에 값이 적힌다. 그래서 e^iθ = cos θ + i sin θ, 이것이 오일러 공식이에요. 외울 것 없이 e^iθ는 θ 각도에 있는 단위원 위의 점이라고 그림으로 기억하면 된다. θ를 0으로 두면 점은 오른쪽의 1, 90도면 위의 i, 180도면 왼쪽의 −1이다. 지난 강의 r∠θ에서 r=1인 경우가 바로 이 e^iθ이고, 일반 복소수는 크기를 곱해 r·e^iθ로 적는다.

이제 각도를 시간에 따라 흐르게 한다. θ 자리에 ωt를 넣으면 e^iωt, 시간이 갈수록 일정한 속도 ω로 원을 도는 화살표가 되고, 이것이 페이저예요. 「재생」을 누르면 화살표가 빙빙 돌고, 속도 버튼으로 도는 빠르기를 바꿀 수 있다. 여기서 핵심은 그 화살표의 그림자다. 실수축에 비친 그림자, 곧 Re(e^iωt) = cos ωt가 초록 점이 되어 가로축 위를 좌우로 오가며 진동한다. 바로 그것이 교류 전압이나 신호의 파형이에요. 콘센트의 60Hz 교류도, 라디오 신호도 알고 보면 이렇게 도는 화살표의 그림자다. 전기공학이 골치 아픈 사인 · 코사인 대신 도는 화살표 하나로 교류를 다루는 까닭이 여기에 있다. 흔드는 것보다 돌리는 것이 다루기 쉽기 때문이에요.

왜 지수함수가 회전의 자연스러운 표기인지 여기서 분명해진다. 단위원 위의 두 점 e^iθ₁, e^iθ₂를 끌면 둘을 곱한 점이 어디로 가는지가 금색 화살표로 함께 그려져요. 지수함수의 가장 기본 성질, 곱하면 지수가 더해진다는 것을 그대로 쓰면 e^iθ₁·e^iθ₂ = e^{i(θ₁+θ₂)}이다. 곱은 각도 θ₁+θ₂에 있는 점이다. 지난 강에서 손으로 확인한, 곱하면 각도가 더해진다는 규칙이 여기서는 증명할 것도 없이 지수법칙 한 줄로 나온다. 곱셈을 각도의 덧셈으로 바꾸는 이 성질이 e^iθ 표기의 진짜 힘이다. 어려운 삼각함수 덧셈공식을 외우지 않고 지수만 더하면 돼요.

이제 진짜 공학이 시작된다. 지금까지는 순수한 회전이라 크기가 1로 일정했다. 그런데 지수에 실수부를 하나 더 얹으면 e^(σ+iω)t가 돼요. 여기서 ω는 여전히 도는 속도이고, 새로 들어온 σ는 크기를 바꾸는 비율이다. 크기가 e^σt로 변하기 때문이다. 아래 트랙에서 σ를 끌면 금색 곡선이 모양을 바꾸는데, σ가 0이면 크기가 변하지 않아 그냥 원을 돈다. σ가 음수면 크기가 점점 줄어 안으로 감기는 나선, 곧 진동하면서 잦아드는 감쇠예요. σ가 양수면 밖으로 퍼지는 나선, 점점 커지는 진동이다. 종을 치면 소리가 울리다 잦아드는 것, 회로의 과도 응답, 흔들다리가 안정한지 불안정한지를 전부 이 σ의 부호가 정한다. 회전 ω와 감쇠 σ를 한 지수에 함께 담은 것이 e^(σ+iω)t다.

마지막으로 이 모든 것을 한 점으로 모은다. 점을 끌어 θ를 정확히 반 바퀴인 π로 보내거나, 「θ = π로 보내기」 버튼을 누르면 된다. e^iπ는 단위원에서 반 바퀴 돈 점, 곧 −1이에요. 점이 그 자리에 닿으면 원 위의 표시가 금색으로 밝아진다. 그래서 e^iπ = −1, 양변에 1을 더하면 e^iπ + 1 = 0이다. 수학에서 가장 아름다운 식이라 불리는 오일러 항등식이다. 아름다운 까닭은 자연상수 e, 허수 단위 i, 원주율 π, 그리고 1과 0, 전혀 다른 데서 온 다섯 상수가 군더더기 없이 한 줄에 모여 있기 때문이에요. 그런데 우리에게 이것은 신비한 주문이 아니라 그냥 그림이다. 반 바퀴 돌면 −1, 그게 전부다. e^iθ를 회전으로 보는 눈을 가지면, 가장 어려워 보이던 식이 가장 당연한 한 걸음이 된다.