e^{iθ}는 단위원 위의 회전이다

먼저 e^iθ가 뭔지 눈으로 봐요. 점을 잡고 원을 따라 돌려보세요. 점은 항상 반지름 1짜리 원, 단위원 위에 있어요. 각도 θ가 그 점의 위치예요. 가로로 얼마나 갔나가 cos θ, 세로로 얼마나 갔나가 sin θ. 그래서 e^iθ = cos θ + i sin θ, 이게 오일러 공식이에요. 외울 것도 없어요. 'e^iθ는 θ 각도에 있는 단위원 위 점'이라고 그림으로 기억하면 돼요. θ를 0으로 두면 점은 1(오른쪽), 90도면 i(위), 180도면 −1(왼쪽). 지난 강의 r∠θ에서 r=1인 경우가 바로 이 e^iθ고, 일반 복소수는 그냥 r을 곱해서 r·e^iθ로 적어요.

이제 각도를 시간에 따라 흐르게 해봐요. θ 자리에 ωt를 넣으면 e^iωt, 시간이 갈수록 일정한 속도 ω로 원을 도는 화살표가 돼요. 이게 페이저예요. 재생을 눌러보세요. 화살표가 빙빙 돌죠. 여기서 핵심은 그 화살표의 그림자예요. 실수축에 비친 그림자, 즉 Re(e^iωt) = cos ωt가 좌우로 왔다 갔다 진동해요. 바로 그게 교류 전압이나 신호의 파형이에요. 콘센트의 60Hz 교류도, 라디오 신호도, 알고 보면 이렇게 도는 화살표의 그림자예요. 전기공학이 골치 아픈 사인·코사인 대신 도는 화살표 하나로 교류를 다루는 이유가 이거예요. 돌리는 게 흔드는 것보다 다루기 쉬우니까요.

왜 지수함수가 회전의 자연스러운 표기인지, 여기서 분명해져요. 단위원 위 두 점 e^iθ₁, e^iθ₂를 끌어보세요. 둘을 곱하면 어디로 갈까요? 지수함수의 가장 기본 성질, '곱하면 지수가 더해진다'를 그대로 쓰면 e^iθ₁·e^iθ₂ = e^{i(θ₁+θ₂)}. 곱은 각도 θ₁+θ₂에 있는 점이에요. 지난 강에서 손으로 확인했던 '곱하면 각도가 더해진다'는 규칙이, 여기선 증명할 것도 없이 지수법칙 한 줄로 나와요. 회전을 더하기로 바꿔주는 이 성질이 e^iθ 표기의 진짜 힘이에요. 어려운 삼각함수 덧셈공식을 외울 필요 없이, 그냥 지수만 더하면 되니까요.

이제 진짜 공학이 시작돼요. 지금까지는 순수한 회전, 크기가 1로 일정했죠. 그런데 지수에 실수부를 하나 더 얹으면, e^(σ+iω)t가 돼요. 여기서 ω는 여전히 도는 속도, 새로 들어온 σ는 크기를 바꾸는 비율이에요. 크기가 e^σt니까요. σ를 끌어서 바꿔보세요. σ가 0이면 크기가 안 변해 그냥 원을 돌아요. σ가 음수면 크기가 점점 줄어 안으로 감기는 나선, 진동하면서 잦아드는 감쇠예요. σ가 양수면 밖으로 퍼지는 나선, 점점 커지는 진동이고요. 종을 치면 소리가 울리다 잦아드는 것, 회로의 과도 응답, 흔들다리가 안정한지 불안정한지, 전부 이 σ의 부호가 정해요. 회전(ω)과 감쇠(σ)를 한 지수에 같이 담은 게 e^(σ+iω)t예요.

마지막으로 이 모든 걸 한 점으로 모아볼게요. 점을 끌어 θ를 정확히 π(반 바퀴)로 보내보세요. 'θ = π로 보내기' 버튼을 눌러도 돼요. e^iπ는 단위원에서 반 바퀴 돈 점, 즉 −1이에요. 그래서 e^iπ = −1, 양변에 1을 더하면 e^iπ + 1 = 0. 수학에서 가장 아름다운 식이라고 불리는 오일러 항등식이에요. 왜 아름답냐면, 자연상수 e, 허수 단위 i, 원주율 π, 그리고 1과 0, 전혀 다른 데서 온 다섯 상수가 군더더기 하나 없이 한 줄에 모여 있거든요. 그런데 우리한텐 이게 신비한 주문이 아니라 그냥 그림이에요. '반 바퀴 돌면 −1', 그게 전부예요. e^iθ를 회전으로 보는 눈을 가지면, 가장 어려워 보이던 식이 가장 당연한 한 걸음이 돼요.