고유벡터는 방향이 안 변하는 벡터다
선형대수의 끝판왕, 고유값과 고유벡터예요. 이름이 무시무시하지만 알맹이는 단순해요. 5강에서 행렬은 공간을 통째로 돌리고 늘이는 변환이라고 했죠. 그러면 대부분의 벡터는 변환을 거치면서 방향이 휙 틀어져요. 그런데 딱 몇몇 특별한 방향은 변환을 해도 안 틀어지고, 그냥 그 자리에서 늘어나거나 줄어들기만 해요. 그 안 틀어지는 방향이 고유벡터고, 얼마나 늘어났냐가 고유값이에요. 이게 전부예요. 그리고 이 둘이 5·6·7강에서 본 걸 한자리에 모아줘요.
먼저 '대부분은 틀어진다'를 봐요. 변환 A를 하나 걸어둘게요. 화살표 하나를 원을 따라 빙 돌려보세요. 원래 방향(흐린 화살표)이랑 변환된 방향(진한 화살표)을 같이 띄워놨어요. 대부분의 각도에서, 둘은 다른 쪽을 가리키죠. 변환이 그 벡터를 원래 직선에서 밀어내 버린 거예요. 위로 가던 게 비스듬히 가고, 오른쪽으로 가던 게 위로 들리고. 이게 보통이에요. 변환은 방향을 마구 바꿔놓죠.
그런데 계속 돌리다 보면, 어떤 특별한 각도에서 진한 화살표가 흐린 화살표랑 정확히 같은 직선 위에 딱 떨어져요. 방향이 그대로인 채로 길이만 변한 거예요. 바로 거기, 그 방향이 고유벡터예요. 변환이라는 격류 속에서도 안 휩쓸리고 제 직선을 지킨 방향이죠. 그 직선 위에서 얼마나 늘어났는지, 그 배수가 고유값이에요. 한번 찾아보세요. 보통 2차원이면 이런 방향이 두 개 나와요. 변환이 제멋대로인 것 같아도, 사실은 '이 방향들만은 안 건드린다'는 자기만의 축을 갖고 있는 거예요.
고유값이 그 방향에서 정확히 뭘 하는지 봐요. 고유벡터 위에 올라타면, 변환은 그냥 '곱하기 몇'이에요. 고유값이 2면 그 방향으로 두 배 늘어나고, 0.5면 절반으로 줄고, 1이면 그대로예요. 음수면? 같은 직선 위에서 반대쪽으로 뒤집혀요. 방향(직선)은 지키되 앞뒤만 바뀌는 거죠. 슬라이더로 여러 변환을 만들면서 각 고유벡터의 고유값을 확인해 보세요. 복잡해 보이던 변환이, 고유벡터 방향에서만큼은 단순한 숫자 곱하기 하나로 쪼그라들어요.
여기가 진짜 멋진 부분이에요. 격자를 원래 가로세로가 아니라 고유벡터 방향으로 다시 그려보면, 변환이 완전히 달라 보여요. 돌리는 것도, 비트는 것도 없이, 그냥 각 축을 제 고유값만큼 쭉 늘이는 것뿐이에요. 그 복잡하던 행렬이, 고유벡터를 축으로 삼은 좌표계에선 '축마다 곱하기 몇' 짜리 깔끔한 모양이 되는 거죠. 토글로 격자를 고유축에 맞춰 워프시켜 보세요. 고유벡터는 그 변환에게 가장 자연스러운 축이에요. 그 축에서 보면, 어떤 변환이든 제일 단순한 얼굴을 보여줘요.
그럼 이 방향들을 어떻게 찾을까요? 고유벡터 v는 'A를 건 결과가, 그냥 λ배 한 거랑 똑같은' 벡터예요. 식으로 Av = λv죠. 이걸 옮기면 (A − λI)v = 0이 돼요. 0이 아닌 벡터 v가 0으로 보내졌다는 건, 변환 (A − λI)가 공간을 짜부라뜨렸다는 뜻이에요. 7강 기억나죠? 그러면 그 행렬식이 0이어야 해요. 그래서 det(A − λI) = 0을 λ에 대해 풀면 고유값이 나와요. 6·7강의 '행렬식 0 = 납작 = 거꾸로 못 감'이 고유값을 찾는 열쇠였던 거예요. 덤으로, 행렬식은 고유값들을 전부 곱한 값이에요. 넓이 배율(6강)이 곧 각 축 늘인 배수의 곱이라는 거죠. 다 이어져요.