발산은 한 점에서 새어 나오는 양이다
한 점을 둘러싸고 아주 작은 원을 그렸다고 하자. 그 둘레로 들어오는 양보다 나가는 양이 많으면 그 점은 무언가를 뿜어내는 셈이다. 이것이 발산, 한 점에서 순수하게 새어 나오는 양이에요. 나가는 쪽이 많으면 샘(source), 들어오는 쪽이 많으면 싱크(sink), 똑같으면 0이라 흐름은 그냥 지나간다. 식으로 쓰면 가로 성분이 동쪽으로 퍼지는 정도(∂u/∂x)에 세로 성분이 북쪽으로 퍼지는 정도(∂v/∂y)를 더한 것이다. 공학에서는 어디가 새고 어디로 모이고 어디가 압축되는지를 한 숫자로 짚어 준다.
장 위에서 탐침을 끌면 그 자리에 표본 화살표 여덟 개가 고리로 둘린다. 화살표가 바깥으로 뻗으면 흐름이 새어 나가는 자리이고, 안으로 모이면 빨려드는 자리예요. 원점 근처에 두면 사방으로 퍼져 ∇·F가 양수가 되고, 골드 샘(source)으로 뜬다. 바깥으로 멀리 끌면 화살표가 안으로 휘어 ∇·F가 음수로 돌아서고, 파란 싱크(sink)로 바뀌어요. 그 사이 어딘가, 반지름 2.45쯤 되는 고리에서는 들고나는 양이 딱 맞아 ∇·F가 0이 된다.
버튼을 누르면 세 가지 장이 차례로 바뀐다. 샘은 모든 화살표가 원점에서 바깥으로 뻗어 ∇·F가 +1.2로 양수이고, 싱크는 모두 안으로 모여 −1.2로 음수다. 소용돌이는 화살표가 둘레를 따라 빙글 도는데, 들어오는 만큼 나가서 ∇·F가 정확히 0이에요. 핵심은 회전이 아무리 세도 발산과는 무관하다는 것이다. 발산은 도느냐가 아니라 퍼지느냐 모이느냐만 보고, 큰 숫자 판이 부호와 함께 바뀌는 것으로 그게 드러나요.
발산도 결국 두 조각의 합이다. 탐침을 끌면 가로 성분이 동쪽으로 퍼지는 정도(∂u/∂x, 초록)와 세로 성분이 북쪽으로 퍼지는 정도(∂v/∂y, 주황)가 각각 막대로 뜬다. 두 막대를 더한 것이 곧 ∇·F이고, 원점에서는 둘 다 +1쯤이라 합이 +2가 되어 강한 샘이에요. 바깥으로 끌면 한 축씩 음수로 꺾이면서 합이 줄고, 멀리 나가면 둘 다 음수가 되어 싱크로 바뀐다. '∂u/∂x + ∂v/∂y = ∇·F'라는 한 줄이 숫자로 살아 움직이는 셈이다.
발산의 진짜 정의는 둘레를 통과하는 흐름, 곧 플럭스다. 원의 중심을 끌고 반지름 슬라이더를 움직이면 둘레마다 바깥 법선 방향으로 흐름이 얼마나 새는지가 화살표로 나타난다. 둘레를 다 더한 것이 총 플럭스 Φ이고, 그것을 원 넓이로 나눈 Φ/넓이가 그 안의 평균 발산이에요. 원을 작게 줄일수록 Φ/넓이는 중심에서의 ∇·F 한 값으로 수렴한다. 그래서 발산은 아주 작은 둘레의 단위 넓이당 유출이라는, 그림으로 잡히는 양이다.
이제 발산을 한 점이 아니라 장 전체로 본다. 슬라이더 s를 움직이면 장이 F=[s·x − x³/9, s·y − y³/9]로 부드럽게 바뀐다. 배경 색이 곧 ∇·F의 지도인데, 골드는 샘이라 양수이고 파랑은 싱크라 음수이며 그 사이 경계선이 발산 0인 고리다. s를 키우면 원점의 퍼짐이 강해져 골드 영역이 넓어지고 0 고리가 바깥으로 밀려나요. s를 줄이면 골드가 쪼그라들면서 파란 싱크가 안쪽까지 차오른다. 손잡이 하나가 샘과 싱크의 경계를 통째로 옮기는 셈이에요.