발산은 한 점에서 새어 나오는 양이다
한 점을 둘러싸고 아주 작은 원을 그렸다고 해봐요. 그 둘레로 흐름이 들어오는 양보다 나가는 양이 더 많으면, 그 점은 무언가를 뿜어내는 셈이에요. 이게 발산이에요. 한 점에서 순수하게 새어 나오는 양. 나가는 게 더 많으면 샘(source), 들어오는 게 더 많으면 싱크(sink), 똑같으면 0이라 흐름이 그냥 지나갈 뿐이에요. 식으로는 가로 성분이 동쪽으로 퍼지는 정도(∂u/∂x)에 세로 성분이 북쪽으로 퍼지는 정도(∂v/∂y)를 더한 거예요. 공학에서 새는 곳, 모이는 곳, 압축되는 곳을 한 숫자로 짚는 도구죠.
장 위에서 탐침을 끌어 보세요. 탐침 자리에 작은 고리로 표본 화살표 여덟 개가 둘려요. 이 화살표들이 바깥으로 뻗으면 흐름이 새어 나가는 자리, 안으로 모이면 빨려드는 자리예요. 원점 근처에 두면 사방으로 퍼지면서 ∇·F가 양수로, 골드 샘(source)으로 떠요. 바깥쪽으로 멀리 끌면 화살표가 안으로 휘고 ∇·F가 음수로, 파란 싱크(sink)로 바뀌어요. 그 사이 어딘가, 반지름 2.45쯤 되는 고리에서는 들고나는 양이 딱 맞아 ∇·F가 0이 돼요.
세 가지 장을 버튼으로 바꿔 가며 부호를 읽어 보세요. 샘은 모든 화살표가 원점에서 바깥으로 뻗어 ∇·F가 +1.2, 양수예요. 싱크는 모두 안으로 모여 −1.2, 음수고요. 소용돌이는 모든 화살표가 둘레를 따라 빙글 도는데, 들어오는 만큼 나가서 ∇·F가 정확히 0이에요. 핵심은 이거예요. 회전이 아무리 세도 발산과는 무관하다는 것. 발산은 '도느냐'가 아니라 '퍼지느냐 모이느냐'만 봐요. 큰 숫자 판이 부호와 함께 바뀌는 걸 확인하세요.
발산도 결국 두 조각의 합이에요. 탐침을 끌면 가로 성분이 동쪽으로 퍼지는 정도(∂u/∂x, 초록)와 세로 성분이 북쪽으로 퍼지는 정도(∂v/∂y, 주황)가 각각 막대로 떠요. 두 막대를 더한 게 바로 ∇·F예요. 원점에서는 둘 다 +1쯤이라 합이 +2, 강한 샘이에요. 바깥으로 끌면 한 축씩 음수로 꺾이면서 합이 줄다가, 멀리선 둘 다 음수가 되어 싱크가 돼요. '∂u/∂x + ∂v/∂y = ∇·F'라는 한 줄이 숫자로 살아 움직이는 걸 보세요.
발산의 진짜 정의는 둘레를 통과하는 흐름, 곧 플럭스예요. 원의 중심을 끌고 반지름 슬라이더를 움직여 보세요. 원 둘레마다 바깥 법선 방향으로 흐름이 얼마나 새는지 화살표로 보여요. 둘레를 다 더한 게 총 플럭스 Φ고, 그걸 원 넓이로 나눈 Φ/넓이가 그 안의 평균 발산이에요. 원을 작게 줄일수록 Φ/넓이는 중심에서의 ∇·F 한 값으로 수렴해요. 그래서 발산은 '아주 작은 둘레의 단위 넓이당 유출'이라는, 그림으로 잡히는 양이에요.
이제 발산을 한 점이 아니라 장 전체로 봐요. 슬라이더 s를 움직이면 장이 F=[s·x − x³/9, s·y − y³/9]로 부드럽게 바뀌어요. 배경 색이 곧 ∇·F의 지도예요. 골드는 샘(양수), 파랑은 싱크(음수), 그 사이 경계선이 발산 0인 고리고요. s를 키우면 원점의 퍼짐이 강해져 골드 영역이 넓어지고, 0 고리가 바깥으로 밀려나요. s를 줄이면 골드가 쪼그라들고 파란 싱크가 안쪽까지 차올라요. 한 손잡이가 샘과 싱크의 경계를 통째로 옮기는 걸 보세요.