발산은 한 점에서 새어 나오는 양이다
한 점을 둘러싸고 아주 작은 원을 그렸다고 하자. 그 둘레로 들어오는 양보다 나가는 양이 많으면 그 점은 무언가를 뿜어내는 셈이다. 이것이 발산, 곧 한 점에서 순수하게 새어 나오는 양이에요. 나가는 쪽이 많으면 샘(source), 들어오는 쪽이 많으면 싱크(sink), 둘이 같으면 0이라 흐름은 그냥 지나간다. 식으로 쓰면 가로 성분이 동쪽으로 퍼지는 정도(∂u/∂x)에 세로 성분이 북쪽으로 퍼지는 정도(∂v/∂y)를 더한 것이다. 공학에서는 어디가 새고, 어디로 모이고, 어디가 압축되는지를 이 한 숫자로 짚어요.
장 위에서 탐침을 끌면 그 자리를 둘러싼 점선 고리에 표본 화살표 여덟 개가 둘린다. 화살표가 바깥으로 뻗으면 흐름이 새어 나가는 자리이고, 안으로 모이면 빨려 드는 자리예요. 원점 근처에 두면 사방으로 퍼져 발산이 양수가 되고, 고리가 금색 샘(source)으로 빛난다. 바깥으로 멀리 끌면 화살표가 안으로 휘어 발산이 음수로 돌아서고, 파란 싱크(sink)로 바뀌어요. 그 사이 어딘가, 반지름 2.45쯤 되는 고리에서는 들고 나는 양이 딱 맞아 발산이 0이 된다. 아래에는 지금 자리의 발산 값이 적힌다.
버튼을 누르면 세 가지 장이 차례로 바뀐다. 샘은 모든 화살표가 원점에서 바깥으로 뻗어 발산이 +1.2로 양수이고, 싱크는 모두 안으로 모여 −1.2로 음수다. 소용돌이는 화살표가 둘레를 따라 빙글 도는데, 들어오는 만큼 나가서 발산이 정확히 0이에요. 핵심은 회전이 아무리 세도 발산과는 무관하다는 것이다. 발산은 도느냐가 아니라 퍼지느냐 모이느냐만 보고, 아래의 큰 숫자가 부호와 함께 바뀌는 데서 그것이 드러나요.
발산도 결국 두 조각의 합이다. 탐침을 끌면 가로 성분이 동쪽으로 퍼지는 정도(∂u/∂x, 초록)와 세로 성분이 북쪽으로 퍼지는 정도(∂v/∂y, 주황)가 각각 막대로 뜬다. 두 막대를 더한 것이 곧 발산이고, 원점에서는 둘 다 +1쯤이라 합이 +2가 되어 강한 샘이에요. 바깥으로 끌면 한 축씩 음수로 꺾이면서 합이 줄고, 멀리 나가면 둘 다 음수가 되어 싱크로 바뀐다. 「∂u/∂x + ∂v/∂y = ∇·F」라는 한 줄이 숫자로 살아 움직이는 셈이다.
발산의 진짜 정의는 둘레를 통과하는 흐름, 곧 플럭스다. 원의 중심을 끌고 반지름 슬라이더를 움직이면, 둘레의 점마다 바깥 법선 방향으로 흐름이 얼마나 새는지가 화살표로 나타난다. 둘레를 모두 더한 것이 총 플럭스 Φ이고, 그것을 원의 넓이로 나눈 Φ/넓이가 그 안의 평균 발산이에요. 원을 작게 줄일수록 Φ/넓이는 중심에서의 ∇·F 한 값으로 수렴하고, 아래 세 칸 가운데 마지막 두 칸이 점점 같아진다. 그래서 발산은 아주 작은 둘레에서 단위 넓이당 새어 나가는 양이라는, 그림으로 잡히는 양이다.
이제 발산을 한 점이 아니라 장 전체로 본다. 슬라이더 s를 움직이면 장이 F=[s·x − x³/9, s·y − y³/9]로 부드럽게 바뀐다. 배경 색이 곧 발산의 지도인데, 금색은 샘이라 양수이고 파랑은 싱크라 음수이며, 그 사이의 경계선이 발산 0인 고리다. s를 키우면 원점의 퍼짐이 강해져 금색 영역이 넓어지고, 0 고리가 바깥으로 밀려나요. s를 줄이면 금색이 쪼그라들면서 파란 싱크가 안쪽까지 차오른다. 아래에는 그 고리의 반지름이 적힌다. 손잡이 하나가 샘과 싱크의 경계를 통째로 옮기는 셈이에요.