미분방정식은 기울기의 지도다

먼저 미분방정식이 그리는 지도를 본다. y'=x−y로 해 보면, 이 식은 평면의 각 점 (x, y)에서 곡선이 가져야 할 기울기를 x−y로 정해 줘요. 점 (2, 0)이면 기울기 2, 점 (0, 2)면 기울기 −2다. 그래서 모든 점에 그 기울기 방향의 짧은 선을 그으면 화면 가득 작은 빗금들이 깔린다. 이게 방향장이에요. 프로브를 끌어 여기저기 옮기면 점이 바뀔 때마다 그 자리의 기울기가 어떻게 정해지는지 숫자로 나온다. 아직 해는 안 구했다. 그냥 어느 점에서든 어느 방향으로 가야 하는지가 다 정해져 있다는 것만 보는 것이다. 미분방정식은 답을 직접 주는 게 아니라 이렇게 길 안내를 주는 것이에요.

이제 그 지도를 따라간다. 출발점을 하나 찍으면 거기서부터 화살표가 가리키는 방향으로 한 걸음, 또 거기서 새 기울기를 읽어 한 걸음, 이렇게 충실히 따라가면 곡선 하나가 그려져요. 그게 미분방정식의 해다. 출발점을 끌어 옮기면 곡선이 항상 빗금들과 나란히, 마치 강물이 지형을 따라 흐르듯 장을 따라 흐른다. 어느 점을 지나든 그 점에서 곡선의 기울기는 정확히 x−y가 된다. 해라는 게 신비한 공식이 아니라 매 순간 정해진 방향으로 흐른 자취라는 게 눈에 보여요. 컴퓨터가 미분방정식을 푸는 방식도 바로 이것이다. 작은 걸음으로 화살표를 따라가는 것.

방향장 하나에 해곡선은 하나가 아니라 무수히 많다. 화면을 보면 곡선들이 마치 머리카락을 빗질한 것처럼 장 전체를 채우고 있어요. 같은 미분방정식인데도 출발점이 다르면 다른 곡선을 따라가기 때문이다. 그럼 그 많은 곡선 중에 어느 게 내 답일까. 그건 초기조건이 정해 준다. y축 위의 핸들을 끌어 y(0) 값을 바꾸면, x=0일 때 y는 얼마라는 조건 하나가 빽빽한 곡선 가족 중에서 딱 하나를 콕 집어 줘요. 미분방정식은 곡선들의 가족 전체를 주고 초기조건이 그중 하나를 고르는 것이다. 그래서 실제 문제는 방정식과 초기조건이 한 세트다. 출발점을 알아야 어디로 흐를지가 하나로 정해지니까요.

가장 중요한 방향장 하나를 따로 본다. y'=ky, 기울기가 y 값 자체에 비례하는 경우다. 핵심은 많을수록 빨리 변한다는 것이에요. y가 크면 기울기도 크고 y가 작으면 기울기도 작다. k를 끌어 바꾸면 k가 양수일 때 위로 점점 가팔라지며 폭발적으로 커지는 곡선, 바로 지수 성장이 나온다. k가 음수면 점점 평평해지며 0으로 잦아드는 지수 감쇠다. 해는 y=e^kx. A2에서 본 그 e가 여기서 자연스럽게 튀어나와요. 자기 값에 비례해서 자라는 것의 답이 정확히 지수함수이기 때문이다. 인구 증가, 방사성 붕괴, RC 회로의 충방전, 복리 이자가 전부 y'=ky 한 줄이다. 자연에서 지수가 그토록 자주 나오는 이유가 이 단순한 방향장이에요.

마지막으로 손으로 정확히 푸는 법 하나를 본다. 변수분리다. y'=−xy의 방향장을 보면 화살표들이 원점을 중심으로 빙 도는 모양이고, 해는 동심원들이에요. 어떻게 식으로 확인하냐면, y'을 dy/dx로 써서 x는 x끼리, y는 y끼리 양변으로 갈라놓는 것이다. y dy = −x dx. 이렇게 변수가 분리되면 양변을 그냥 적분할 수 있다. y²2 = −x²2 + C, 정리하면 x²+y²=C, 바로 원이에요. 버튼을 눌러 이 과정을 펼칠 수 있다. 방향장이 보여준 원을 따라 도는 흐름을 변수분리가 x²+y²=C라는 정확한 공식으로 확인해 준다. 그림인 방향장과 계산인 변수분리가 같은 답을 가리키는 것이다. 변수가 깔끔하게 갈라지는 미분방정식은 이렇게 적분 한 번으로 풀려요.