행렬식은 부피로 자라난다
2x2 행렬식이 넓이였던 거, 기억나죠. 그런데 행렬이 3x3, 4x4로 커지면 어떡할까요? 그림이 통째로 바뀌는 게 아니라 그냥 차원이 하나씩 올라가요. 3x3은 평행육면체의 부피, n x n은 부호 있는 n차원 부피예요. 문제는 큰 행렬식을 어떻게 계산하느냐인데, 답은 의외로 단순해요. 한 줄을 따라가며 더 작은 행렬식들의 부호 있는 합으로 쪼개요. 더하고 빼고 더하고, +,-,+ 바둑판 부호로요. 이게 여인수 전개예요. 이 한 가지 도구에서 크라메르 공식도, 행렬식이 왜 다중선형이고 교대적인지도, 두 열이 같으면 왜 0이 되는지도 전부 흘러나와요.
3x3 행렬식을 직접 펼쳐 봐요. 버튼으로 첫 행을 따라 한 칸씩 걸어가요. j번째 칸을 고르면 그 항이 켜지고, 그 항이 있는 행과 열을 통째로 지워요. 남는 2x2가 그 항의 소행렬식이에요. 그 작은 행렬식은 우리가 이미 아는 넓이고요. 칸마다 +,-,+ 부호가 번갈아 붙어요. 그래서 전체 행렬식은 a11 곱하기 M11 빼기 a12 곱하기 M12 더하기 a13 곱하기 M13이에요. 한 단계씩 누적 합이 자라다가 마지막에 det에 딱 도착해요. 큰 행렬식이 작은 것들의 부호 있는 합으로 쪼개진다는 게 핵심이에요. 4x4면 같은 일을 한 겹 더 하면 되고요.
여인수에는 부품이 두 개예요. 소행렬식과 부호요. 격자에서 아무 칸 aij나 눌러 보세요. 그 칸이 강조되고, 그 칸의 행 i와 열 j를 지운 나머지 2x2 소행렬식 Mij가 나타나요. 그 옆엔 부호 (-1)i+j가 떠요. 행 번호 더하기 열 번호가 짝수면 +, 홀수면 -예요. 그래서 부호가 좌상단부터 바둑판처럼 +,-,+,- 하고 깔려요. 소행렬식에 이 부호를 곱한 게 여인수 Cij = (-1)i+j Mij고요. 앞 위젯의 전개는 결국 첫 행을 따라 aij 곱하기 Cij를 다 더한 거였어요. 어느 행이나 어느 열로 펼쳐도 같은 det이 나와요. 부호판이 그걸 보장해 줘요.
이제 행렬식으로 연립방정식을 풀어요. A x = b에서 A는 고정된 가역 행렬이고, 슬라이더로 우변 b1, b2를 정해요. 크라메르 공식은 답을 행렬식의 비로 줘요. x1은 A의 1열을 b로 바꾼 행렬의 행렬식을 det(A)로 나눈 거고, x2는 2열을 b로 바꾼 행렬식을 det(A)로 나눈 거예요. 두 바뀐 행렬을 평행사변형 넓이로 보여줄게요. 분자 넓이가 분모 넓이의 몇 배냐가 곧 x예요. b를 움직이면 그 평행사변형이 자라거나 줄고, x1, x2가 따라 변해요. 행렬식이 부피니까, 연립방정식의 답이 부피의 비로 나온다는 게 크라메르의 정신이에요. det(A)가 0에 가까우면 분모가 사라져서 답이 폭발하는 것도 보일 거예요.
행렬식의 부호가 무슨 뜻인지 슬라이더로 직접 느껴 봐요. 2x2 행렬을 움직이면, 단위정사각형의 상인 평행사변형이 같이 움직여요. 그 평행사변형의 넓이가 행렬식의 절댓값 |det|이에요. 부호는 방향이에요. î에서 ĵ로 도는 회전이 반시계 방향이면 det이 양수, 시계 방향이면 음수예요. 슬라이더를 살살 넘겨서 두 화살표의 회전이 뒤집히는 순간을 보세요. 그 순간 |det|은 0을 지나며 부호가 +에서 -로 바뀌어요. 2차원에선 부호 있는 넓이, 3차원에선 부호 있는 부피, n차원에선 부호 있는 n-부피예요. 크기는 얼마나 늘었나, 부호는 뒤집혔나. 행렬식 하나가 둘을 같이 담아요.
마지막으로 행렬식의 성격 두 가지예요. 다중선형이고 교대적이에요. 토글로 두 열을 맞바꿔(swap) 보세요. 부호가 그냥 뒤집혀요. det이 그대로인데 +가 -가 돼요. 이게 교대성이에요. 그리고 슬라이더로 한 열을 다른 열 쪽으로 돌려 보세요. 두 열이 점점 나란해지다가 완전히 겹치는 순간, 평행사변형이 선 하나로 짜부라지면서 det이 0이 돼요. 두 열이 같으면 행렬식은 무조건 0이에요. 교대성의 당연한 결과죠. 같은 열을 swap해도 부호가 바뀌어야 하는데, 똑같은 걸 바꿨으니 변화가 없어야 하고, 그럼 det = -det, 곧 det = 0이거든요. 부피로 보면 더 쉬워요. 두 모서리가 한 방향으로 겹치면 납작해져서 부피가 없어요.