행렬식은 부피로 자라난다
2x2 행렬식이 넓이였다는 것은 이미 알고 있다. 행렬이 3x3, 4x4로 커져도 그림이 바뀌는 것이 아니라 차원이 하나씩 올라간다. 3x3은 평행육면체의 부피고, n x n은 부호 있는 n차원 부피예요. 큰 행렬식을 계산하는 법은 단순하다. 한 줄을 따라 더 작은 행렬식들의 부호 있는 합으로 쪼갠다. 더하고 빼고 더하는 바둑판 부호로 간다. 이것이 여인수 전개예요. 이 도구에서 크라메르 공식도, 행렬식이 다중선형이고 교대적인 까닭도, 두 열이 같으면 0이 되는 까닭도 나온다. 바둑판 부호가 칸마다 번갈아 붙는 것이 전개의 규칙이다. 평행사변형의 넓이와 부호가 그 행렬식이다. 두 열이 포개지면 그 넓이가 사라지고, 크라메르의 두 평행사변형이 답의 분자와 분모다.
3x3 행렬식을 직접 펼친다. 버튼으로 첫 행을 한 칸씩 걸어가고, j번째 칸을 고르면 그 항이 켜지며 그 항이 있는 행과 열이 지워진다. 남는 2x2가 그 항의 소행렬식이고, 그 작은 행렬식은 이미 아는 넓이예요. 칸마다 더하기와 빼기와 더하기가 번갈아 붙는다. 그래서 전체 행렬식은 a11 곱하기 M11 빼기 a12 곱하기 M12 더하기 a13 곱하기 M13이다. 한 단계씩 누적 합이 자라다가 마지막에 det에 도착해요. 큰 행렬식이 작은 것들의 부호 있는 합으로 쪼개진다는 것이 핵심이다. 4x4면 같은 일을 한 겹 더 하면 된다. 고른 칸의 행과 열이 지워지고, 남은 작은 행렬식이 그 항의 넓이다.
여인수에는 부품이 둘이다. 소행렬식과 부호다. 격자에서 칸 aij를 누르면 그 칸이 강조되고, 행 i와 열 j를 지운 나머지 2x2 소행렬식 Mij가 나타나요. 옆에는 부호 (-1)i+j가 뜬다. 행 번호와 열 번호를 더한 값이 짝수면 더하기, 홀수면 빼기다. 그래서 부호가 왼쪽 위부터 바둑판처럼 깔린다. 소행렬식에 이 부호를 곱한 것이 여인수 Cij = (-1)i+j Mij예요. 앞 그림의 전개는 첫 행을 따라 aij 곱하기 Cij를 모두 더한 것이다. 어느 행이나 어느 열로 펼쳐도 같은 det이 나오고, 부호판이 그것을 보장한다.
행렬식으로 연립방정식을 푼다. A x = b에서 A는 고정된 가역 행렬이고, 슬라이더로 우변 b1, b2를 정한다. 크라메르 공식은 답을 행렬식의 비로 준다. x1은 A의 1열을 b로 바꾼 행렬의 행렬식을 det(A)로 나눈 것이고, x2는 2열을 b로 바꾼 행렬식을 det(A)로 나눈 것이에요. 두 바뀐 행렬을 평행사변형의 넓이로 보여 주니, 분자 넓이가 분모 넓이의 몇 배인가가 곧 x다. b를 움직이면 그 평행사변형이 자라거나 줄고 x1, x2가 따라 변한다. 행렬식이 부피이므로 연립방정식의 답이 부피의 비로 나온다는 것이 크라메르의 뜻이에요. det(A)가 0에 가까우면 분모가 사라져 답이 커지는 것도 보인다.
행렬식의 부호를 슬라이더로 본다. 2x2 행렬을 움직이면 단위 정사각형이 간 평행사변형이 함께 움직인다. 그 평행사변형의 넓이가 행렬식의 절댓값 |det|이에요. 부호는 방향이다. 첫째 축에서 둘째 축으로 도는 회전이 반시계면 det이 양수, 시계면 음수다. 슬라이더를 넘겨 두 화살표의 회전이 뒤집히는 순간을 잡으면, 그 순간 |det|은 0을 지나며 부호가 양에서 음으로 바뀌어요. 2차원에서는 부호 있는 넓이, 3차원에서는 부호 있는 부피, n차원에서는 부호 있는 n-부피다. 크기는 얼마나 늘었는가이고 부호는 뒤집혔는가인데, 행렬식 하나가 둘을 함께 담는다.
행렬식의 성격은 둘이다. 다중선형이고 교대적이다. 버튼으로 두 열을 맞바꾸면(swap) 부호가 뒤집힌다. 크기는 그대로인데 양이 음이 되고, 이것이 교대성이에요. 슬라이더로 한 열을 다른 열 쪽으로 돌리면 두 열이 나란해지다가 완전히 겹치는 순간, 평행사변형이 선 하나로 납작해지며 det이 0이 된다. 두 열이 같으면 행렬식은 0이고, 이것은 교대성의 결과다. 같은 열을 swap해도 부호가 바뀌어야 하는데 같은 것을 바꿨으니 변화가 없어야 하고, 그러면 det = -det, 곧 det = 0이기 때문이에요. 부피로 보면 더 쉽다. 두 모서리가 한 방향으로 겹치면 납작해서 부피가 없다.