행렬식은 부피로 자라난다
2x2 행렬식이 넓이였던 건 기억날 것이다. 그런데 행렬이 3x3, 4x4로 커지면 어떻게 할까. 그림이 통째로 바뀌는 게 아니라 그냥 차원이 하나씩 올라간다. 3x3은 평행육면체의 부피, n x n은 부호 있는 n차원 부피예요. 문제는 큰 행렬식을 어떻게 계산하느냐인데 답은 의외로 단순하다. 한 줄을 따라가며 더 작은 행렬식들의 부호 있는 합으로 쪼갠다. 더하고 빼고 더하고, +,-,+ 바둑판 부호로 간다. 이게 여인수 전개예요. 이 한 가지 도구에서 크라메르 공식도, 행렬식이 왜 다중선형이고 교대적인지도, 두 열이 같으면 왜 0이 되는지도 전부 흘러나온다.
3x3 행렬식을 직접 펼친다. 버튼으로 첫 행을 따라 한 칸씩 걸어가는데, j번째 칸을 고르면 그 항이 켜지고 그 항이 있는 행과 열을 통째로 지운다. 남는 2x2가 그 항의 소행렬식이고, 그 작은 행렬식은 우리가 이미 아는 넓이예요. 칸마다 +,-,+ 부호가 번갈아 붙는다. 그래서 전체 행렬식은 a11 곱하기 M11 빼기 a12 곱하기 M12 더하기 a13 곱하기 M13이다. 한 단계씩 누적 합이 자라다가 마지막에 det에 딱 도착해요. 큰 행렬식이 작은 것들의 부호 있는 합으로 쪼개진다는 게 핵심이다. 4x4면 같은 일을 한 겹 더 하면 된다.
여인수에는 부품이 두 개다. 소행렬식과 부호다. 격자에서 아무 칸 aij나 누르면 그 칸이 강조되고, 그 칸의 행 i와 열 j를 지운 나머지 2x2 소행렬식 Mij가 나타나요. 그 옆에는 부호 (-1)i+j가 뜬다. 행 번호 더하기 열 번호가 짝수면 +, 홀수면 -다. 그래서 부호가 좌상단부터 바둑판처럼 +,-,+,- 하고 깔린다. 소행렬식에 이 부호를 곱한 게 여인수 Cij = (-1)i+j Mij예요. 앞 위젯의 전개는 결국 첫 행을 따라 aij 곱하기 Cij를 다 더한 것이었다. 어느 행이나 어느 열로 펼쳐도 같은 det이 나오는데, 부호판이 그걸 보장해 준다.
이제 행렬식으로 연립방정식을 푼다. A x = b에서 A는 고정된 가역 행렬이고, 슬라이더로 우변 b1, b2를 정한다. 크라메르 공식은 답을 행렬식의 비로 주는데, x1은 A의 1열을 b로 바꾼 행렬의 행렬식을 det(A)로 나눈 것이고 x2는 2열을 b로 바꾼 행렬식을 det(A)로 나눈 것이에요. 두 바뀐 행렬을 평행사변형 넓이로 보여 주니, 분자 넓이가 분모 넓이의 몇 배냐가 곧 x다. b를 움직이면 그 평행사변형이 자라거나 줄고 x1, x2가 따라 변한다. 행렬식이 부피니까 연립방정식의 답이 부피의 비로 나온다는 게 크라메르의 정신이에요. det(A)가 0에 가까우면 분모가 사라져서 답이 폭발하는 것도 보인다.
행렬식의 부호가 무슨 뜻인지 슬라이더로 직접 느껴 본다. 2x2 행렬을 움직이면 단위정사각형의 상인 평행사변형이 같이 움직인다. 그 평행사변형의 넓이가 행렬식의 절댓값 |det|이에요. 부호는 방향이다. î에서 ĵ로 도는 회전이 반시계 방향이면 det이 양수, 시계 방향이면 음수다. 슬라이더를 살살 넘겨 두 화살표의 회전이 뒤집히는 순간을 잡으면, 그 순간 |det|은 0을 지나며 부호가 +에서 -로 바뀌어요. 2차원에서는 부호 있는 넓이, 3차원에서는 부호 있는 부피, n차원에서는 부호 있는 n-부피다. 크기는 얼마나 늘었나이고 부호는 뒤집혔나인데, 행렬식 하나가 둘을 같이 담는다.
마지막으로 행렬식의 성격 두 가지다. 다중선형이고 교대적이다. 토글로 두 열을 맞바꿔(swap) 보면 부호가 그냥 뒤집힌다. det이 그대로인데 +가 -가 되는데, 이게 교대성이에요. 그리고 슬라이더로 한 열을 다른 열 쪽으로 돌리면 두 열이 점점 나란해지다가 완전히 겹치는 순간, 평행사변형이 선 하나로 짜부라지면서 det이 0이 된다. 두 열이 같으면 행렬식은 무조건 0이고, 교대성의 당연한 결과다. 같은 열을 swap해도 부호가 바뀌어야 하는데 똑같은 걸 바꿨으니 변화가 없어야 하고, 그럼 det = -det, 곧 det = 0이기 때문이에요. 부피로 보면 더 쉬운데, 두 모서리가 한 방향으로 겹치면 납작해져서 부피가 없다.