행렬식은 넓이 배율이다

넓이가 몇 배로 변하는지 알려면 기준 도형 하나를 정해 그것이 얼마나 커지는지 보면 된다. 가장 깔끔한 기준은 î와 ĵ가 만드는 단위정사각형이고, 넓이가 딱 1이에요. 행렬을 적용하면 î와 ĵ가 움직이는데, 앞 강 「행렬은 변환이다」에서 봤듯 행렬의 두 열이 곧 î와 ĵ가 가는 자리다. 그래서 정사각형은 평행사변형으로 찌그러진다. 네 슬라이더를 움직이면 금색 평행사변형이 모양을 바꾸고, 아래에 행렬식과 그 절댓값인 넓이가 함께 적혀요. 처음 넓이가 1이었으니 바뀐 넓이가 곧 몇 배가 됐는지이고, 그게 행렬식이다. 행렬식이 음수로 넘어가면 평행사변형이 붉게 바뀌는데, 그 뜻은 조금 뒤에 다룬다. 이 평행사변형의 넓이를 좌표로 직접 계산하면 정확히 ad 빼기 bc가 나온다. 학교에서 외운 공식이 사실은 이 넓이를 구하는 식이었던 것이에요.

단위정사각형만 그런 것 아니냐고 물을 수 있는데, 그렇지 않다. 어떤 도형을 올려놓아도 넓이가 똑같은 비율로 바뀌어요. 원이든 삐뚤빼뚤한 모양이든 작은 정사각형 여러 개로 잘게 쪼개 생각하면, 조각마다 같은 배율로 늘어나니 전체도 같은 배율로 늘어나기 때문이다. 그림에는 초록 삼각형과 파란 사각형이 함께 놓여 있고, 슬라이더로 행렬을 바꾸면 두 도형이 저마다 다르게 찌그러진다. 그래도 아래에 적힌 두 도형의 넓이 배율은 언제나 서로 같고, 행렬식의 절댓값과도 같아요. 그래서 행렬식은 어느 한 도형의 성질이 아니라 공간 전체에 똑같이 걸리는 넓이 배율 하나다.

그런데 넓이는 양수일 텐데 행렬식은 음수가 나올 때가 있다. 음수 넓이라니 무슨 뜻일까. 공간이 뒤집혔다는 뜻이에요. 종이를 뒤집으면 글자가 거울에 비친 것처럼 좌우가 바뀌듯, 변환도 평면을 뒤집을 수 있다. 원래 î에서 ĵ로 반시계 방향으로 돌던 것이 뒤집히면 시계 방향으로 돈다. 그림의 호와 화살촉이 î에서 ĵ로 도는 방향을 나타내고, 슬라이더를 왼쪽으로 밀어 행렬식이 음수로 넘어가는 순간 호가 반대로 돌며 붉게 바뀌고 글자도 「뒤집힘」으로 바뀐다. 방향이 반대가 됐다는 사실을 음수 부호가 잡아내는 것이다. 행렬식 하나에 넓이 배율이라는 크기와 뒤집혔는지라는 방향이 함께 담겨 있는 셈이에요.

이제 가장 중요한 경우다. 이 그림의 슬라이더는 행렬식을 직접 조절하는데, 살살 움직여 행렬식을 0으로 만들면 평행사변형이 점점 납작해지다가 결국 직선 하나로 짜부라져요. 넓이가 0이 된 것이고, 2차원이 1차원으로 뭉개진 것이다. 그 순간 아래에 「역행렬 없음」이라는 경고가 뜬다. 핵심은 한 번 납작해지면 되돌릴 방법이 없다는 점이다. 서로 다른 점들이 같은 자리로 뭉개져 버려서, 직선 위에 모인 점만 보고는 원래 평면의 어디에서 왔는지 알아낼 수 없기 때문이에요. 행렬식이 0이면 역행렬이 없다는 말이 사실은 이 그림이다. 짜부라진 것은 다시 펴지 못한다. 이 얘기는 다음 강인 연립방정식과 역행렬에서 제대로 이어진다.

변환을 연달아 두 번 하면 넓이는 어떻게 될까. 어렵게 생각할 것 없다. 먼저 넓이를 2배로 키우는 변환을 하고 그다음 3배로 키우는 변환을 하면, 최종 넓이는 2 곱하기 3, 곧 6배예요. 그래서 행렬을 곱한 것의 행렬식은 각 행렬식을 곱한 것과 같다. det(AB) = det(A) 곱하기 det(B). 흔히 공식으로 외우지만, 배율은 곱해진다는 것만 떠올리면 너무 당연하다. 그림의 화살표 버튼으로 단위정사각형에 첫째 행렬과 둘째 행렬을 차례로 걸면 아래의 넓이 값이 단계마다 곱으로 불어나고, 마지막 줄에서 두 행렬식의 곱이 합성 변환의 행렬식과 같다는 것까지 확인돼요.