회전은 그 자리 소용돌이의 세기다
흐르는 물에 아주 작은 바람개비를 띄우되, 떠내려가지 않게 핀으로 한 점에 박아 둔다고 하자. 그 자리에서 바람개비가 빙글 돌면 거기엔 회전이 있는 것이다. 회전(curl)은 바로 그 제자리 소용돌이의 세기를 재는 양이에요. 반시계로 돌면 양수, 시계로 돌면 음수다. 발산이 퍼져 나가나를 물었다면 회전은 빙빙 도나를 묻는, 같은 장의 두 얼굴이다. 이 한 양이 유체의 와류와 회전하는 기계, 그리고 보존장인지 아닌지를 가르는 열쇠가 돼요.
두 개의 소용돌이가 든 장이다. 탐침을 끌면 그 자리에 작은 굽은 화살표가 뜨는데, 그것이 그 점에서 바람개비가 도는 방향이에요. 왼쪽 소용돌이 위에서는 화살표가 반시계로 휘어 골드로 뜨고, 오른쪽 위에서는 시계로 휘어 파랑이 된다. 두 소용돌이 사이 한가운데에서는 회전이 거의 0이라 화살표가 작아진다. 굽은 화살표가 길고 굵을수록 그 자리 소용돌이가 세다는 뜻이다.
회전의 부호가 곧 도는 방향이고, 토글을 누르면 세 가지 장이 차례로 나타나요. F=[−y, x]는 반시계로 도는 통회전이라 ∇×F=+2이고, F=[y, −x]는 시계라 −2다. 셋째 F=[y, 0]은 가로로만 미끄러지는 전단 흐름인데, 화살표가 죄다 평행한 직선처럼 보여도 회전은 −1로 0이 아니에요. 위아래 줄의 속도가 다르면 끼인 바람개비는 돌기 때문이다. 화살표가 똑바로 보인다고 회전이 없는 게 아니라는 것이 핵심이다. 고정된 원 둘레를 따라 더한 순환값으로도 같은 부호가 확인된다.
회전도 결국 두 조각의 차다. 첫 조각 ∂v/∂x는 동쪽으로 갈 때 세로 속도가 얼마나 변하는가이고, 둘째 −∂u/∂y는 북쪽으로 갈 때 가로 속도가 얼마나 변하는가다. 탐침을 끌면 두 막대가 따로 자라는데, 초록은 ∂v/∂x, 주황은 −∂u/∂y. 둘을 더한 것이 곧 회전 ∇×F이고, 화면 아래 식 ∂v/∂x − ∂u/∂y = ∇×F 그대로예요. 한쪽 막대만 커도 회전이 생기고, 둘이 같은 부호로 보태지면 소용돌이 한가운데처럼 회전이 가장 세진다. 부호가 반대로 상쇄되면 회전은 0에 가까워진다.
회전은 한 점의 양인데 어떻게 잴까. 작은 고리를 그려 그 둘레를 따라 흐름이 얼마나 도는지, 곧 순환을 더하면 된다. 고리의 중심을 끌고 슬라이더로 반지름을 줄이면 답이 드러나요. 순환값은 고리가 클수록 커지지만, 순환을 그 고리의 넓이로 나눈 값은 고리를 줄일수록 한 값으로 모인다. 그것이 바로 중심에서의 회전이다. 이게 회전의 진짜 정의, 고리를 점으로 쪼그라뜨렸을 때 단위 넓이당 도는 양이에요. 왼쪽 소용돌이에 갖다 대면 양수로, 오른쪽이면 음수로 수렴한다.
이제 회전 자체를 색으로 칠한 지도다. 골드는 반시계 회전이라 양수, 파랑은 시계 회전이라 음수이고, 옅은 화살표가 흐름을 보여준다. 슬라이더는 두 소용돌이 사이 거리를 벌린다. 가까이 붙이면 두 회전 얼룩이 가운데서 서로 깎아 회전이 흐릿해지고, 멀리 떼면 골드와 파랑 두 얼룩이 또렷이 갈라져요. 한 점 한 점의 회전을 모으면 장 전체에서 어디가 반시계로 어디가 시계로 도는지 한눈에 보이는 회전 지도가 된다. 다음 강에서는 이 화살표를 따라 한 일을 재는 선적분으로 넘어간다.