회전은 그 자리 소용돌이의 세기다
물살 위에 아주 작은 바람개비를 띄우되, 떠내려가지 않게 핀으로 한 점에 고정한다고 하자. 그 자리에서 바람개비가 돌면 그 점에 회전이 있다. 회전(curl)은 그 제자리 소용돌이의 세기를 재는 양이다. 반시계로 돌면 양수이고, 시계로 돌면 음수예요. 발산이 한 점에서 새어 나가는 양을 물었다면, 회전은 같은 장이 그 자리에서 도는지를 묻는다. 유체의 와류와 도는 기계, 그리고 보존장인지의 판정이 이 한 수에 매달린다. 아래 그림의 바람개비는 바로 그 점의 회전을 가리켜요.
두 소용돌이가 한 장에 들어 있다. 탐침을 끌면 그 자리에 작은 굽은 화살표가 뜨고, 그것이 그 점에서 바람개비가 도는 방향이에요. 왼쪽 소용돌이 위에서는 화살표가 반시계로 휘어 금색이 되고, 오른쪽 위에서는 시계로 휘어 파랑이 된다. 두 소용돌이 사이 한가운데는 회전이 거의 0이라 화살표가 작아진다. 굽은 화살표가 길고 굵을수록 그 자리 소용돌이가 세다. 화살표가 사라질 만큼 작아진 자리는 회전이 없는 곳이에요.
회전의 부호가 곧 도는 방향이다. 버튼을 누르면 세 가지 장이 바뀌어요. F=[−y, x]는 반시계로 도는 통회전이라 ∇×F=+2이고, F=[y, −x]는 시계라 −2다. 셋째 F=[y, 0]은 가로로만 미끄러지는 전단인데, 화살표가 평행한 직선처럼 보여도 회전은 −1로 0이 아니에요. 위 줄과 아래 줄의 속도가 다르면 사이에 끼인 바람개비는 돈다. 화살표가 곧게 보여도 회전이 없다고 할 수 없다. 고정된 원 둘레를 따라 더한 순환이 같은 부호를 보여 준다.
회전도 두 조각의 차다. 첫 조각 ∂v/∂x는 동쪽으로 갈 때 세로 속도가 얼마나 변하는가이고, 둘째 −∂u/∂y는 북쪽으로 갈 때 가로 속도가 얼마나 변하는가다. 탐침을 끌면 두 막대가 따로 자란다. 초록은 ∂v/∂x, 주황은 −∂u/∂y. 둘을 더한 값이 회전 ∇×F이고, 그림 아래 식 ∂v/∂x − ∂u/∂y = ∇×F 그대로예요. 막대 하나만 커도 회전이 생기고, 둘이 같은 부호로 보태지면 소용돌이 한가운데처럼 회전이 가장 세진다. 부호가 반대로 상쇄되면 회전은 0에 가까워진다.
회전은 한 점의 양인데, 재는 법은 작은 고리를 그리는 것이다. 고리 둘레를 따라 흐름이 얼마나 도는지 더하면 순환이 된다. 고리의 중심을 끌고 슬라이더로 반지름을 줄이면 답이 보여요. 순환 자체는 고리가 클수록 커지지만, 순환을 고리의 넓이로 나눈 값은 고리를 줄일수록 한 값으로 모인다. 그 값이 중심에서의 회전이다. 고리를 점으로 쪼그라뜨렸을 때 단위 넓이당 도는 양이 회전의 정의예요. 그림 아래에는 순환, 넓이로 나눈 순환, 중심의 회전이 나란히 적혀 있어, 반지름을 줄일수록 가운데 값이 마지막 값으로 다가간다. 왼쪽 소용돌이에 두면 양수로, 오른쪽에 두면 음수로 모인다.
이제 회전 자체를 색으로 칠한 지도다. 금색은 반시계 회전이라 양수, 파랑은 시계 회전이라 음수이고, 옅은 화살표가 흐름을 보여 준다. 슬라이더는 두 소용돌이 사이 거리를 벌린다. 가까이 붙이면 두 회전 얼룩이 가운데에서 서로를 깎아 회전이 흐려지고, 멀리 떼면 금색과 파랑 두 얼룩이 또렷이 갈라져요. 한 점 한 점의 회전을 모으면, 장 전체에서 어디가 반시계로 어디가 시계로 도는지 보이는 회전 지도가 된다. 이 화살표를 따라 쌓는 일은 선적분에서 이어져요.