회전은 그 자리 소용돌이의 세기다
흐르는 물에 아주 작은 바람개비를 띄운다고 해봐요. 떠내려가지 않게 핀으로 한 점에 박아 두고요. 그 자리에서 바람개비가 빙글 돌면, 거기엔 회전이 있는 거예요. 회전(curl)은 바로 그 '제자리 소용돌이'의 세기를 재는 양이에요. 반시계로 돌면 양수, 시계로 돌면 음수. 발산이 '퍼져 나가나'를 물었다면, 회전은 '빙빙 도나'를 물어요. 같은 장의 두 얼굴이죠. 이 한 양이 유체의 와류, 회전하는 기계, 그리고 보존장인지 아닌지를 가르는 열쇠가 돼요.
두 개의 소용돌이가 든 장이에요. 탐침을 끌어 보세요. 탐침 자리에 작은 굽은 화살표가 뜨는데, 그게 바로 그 점에서 바람개비가 도는 방향이에요. 왼쪽 소용돌이 위에선 화살표가 반시계로 휘어 골드로 뜨고(회전 양수), 오른쪽 위에선 시계로 휘어 파랑이 돼요(음수). 두 소용돌이 사이 한가운데에선 회전이 거의 0이라 화살표가 작아져요. 굽은 화살표가 길고 굵을수록 그 자리 소용돌이가 세다는 뜻이에요.
회전의 부호가 곧 도는 방향이에요. 토글로 세 장을 바꿔 보세요. F=[−y, x]는 반시계로 도는 통회전이라 ∇×F=+2, F=[y, −x]는 시계라 −2예요. 셋째 F=[y, 0]은 가로로만 미끄러지는 전단 흐름인데, 화살표가 죄다 평행한 직선처럼 보여도 회전은 −1로 0이 아니에요. 위아래 줄의 속도가 다르면 끼인 바람개비는 돌거든요. 화살표가 똑바로 보인다고 회전이 없는 게 아니라는 게 핵심이에요. 고정된 원 둘레를 따라 더한 순환값으로도 같은 부호가 확인돼요.
회전도 결국 두 조각의 차예요. 첫 조각 ∂v/∂x는 동쪽으로 갈 때 세로 속도가 얼마나 변하나, 둘째 −∂u/∂y는 북쪽으로 갈 때 가로 속도가 얼마나 변하나예요. 탐침을 끌면 두 막대가 따로 자라요. 초록은 ∂v/∂x, 주황은 −∂u/∂y. 둘을 더한 게 곧 회전 ∇×F예요. 화면 아래 식 ∂v/∂x − ∂u/∂y = ∇×F 그대로요. 한쪽 막대만 커도 회전이 생기고, 둘이 같은 부호로 보태지면 소용돌이 한가운데처럼 회전이 가장 세져요. 부호가 반대로 상쇄되면 회전은 0에 가까워져요.
회전은 한 점의 양인데, 어떻게 잴까요? 작은 고리를 그려 그 둘레를 따라 흐름이 얼마나 도는지(순환) 더하면 돼요. 고리의 중심을 끌고, 슬라이더로 반지름을 줄여 보세요. 순환값은 고리가 클수록 커지지만, 순환을 그 고리의 넓이로 나눈 값(순환/넓이)은 고리를 줄일수록 한 값으로 모여요. 바로 중심에서의 회전이에요. 이게 회전의 진짜 정의예요. 고리를 점으로 쪼그라뜨렸을 때 단위 넓이당 도는 양. 왼쪽 소용돌이에 갖다 대면 양수로, 오른쪽이면 음수로 수렴하죠.
이제 회전 자체를 색으로 칠한 지도예요. 골드는 반시계 회전(양수), 파랑은 시계 회전(음수)이고, 옅은 화살표가 흐름을 보여줘요. 슬라이더는 두 소용돌이 사이 거리를 벌려요. 가까이 붙이면 두 회전 얼룩이 가운데서 서로 깎아 회전이 흐릿해지고, 멀리 떼면 골드와 파랑 두 얼룩이 또렷이 갈라져요. 한 점 한 점의 회전을 모으면, 장 전체에서 어디가 반시계로 어디가 시계로 도는지 한눈에 보이는 회전 지도가 돼요. 다음 강에서는 이 화살표를 따라 한 일을 재는 선적분으로 넘어가요.