복소수 곱셈은 회전과 확대다

먼저 복소수를 평면에 앉힌다. 금색 점을 잡고 아무 데나 끌면 가로로 간 만큼이 실수부 a, 세로로 간 만큼이 허수부 b다. 점에서 두 축으로 내린 초록 점선과 주황 점선이 그 두 값을 짚고, 아래에도 같은 값이 적혀요. 오른쪽 위면 a, b 둘 다 양수이고 왼쪽 아래면 둘 다 음수다. 복소수 하나가 평면 위의 점 하나이고, 평면 위의 점 하나가 복소수 하나다. 실수는 이 평면에서 가로축 위에만 사는 특별한 경우이고, i는 원점에서 위로 한 칸, 곧 세로축 방향이라고 보면 돼요. 복소수를 숫자가 아니라 평면 위의 위치로 보는 이 한 걸음이 나머지 전부를 푸는 열쇠다.

이제 i를 곱하면 무슨 일이 일어나는지 본다. 점 하나를 놓고 「i 곱하기」 버튼을 누르면 점이 원점을 중심으로 정확히 90도 반시계로 돌아가요. 길이는 그대로이고 방향만 90도 바뀐다. 1에서 시작하면 1 → i → −1 → −i, 그리고 다시 1이다. 점선 원 위에 네 자리가 표시되어 있고, 지금 점이 있는 자리만 금색으로 밝아진다. 네 번 누르면 제자리인데, i를 곱하는 것이 90도 돌리기이고 네 번이면 360도, 곧 한 바퀴이기 때문이다. i를 두 번 곱하면 180도이고, 그게 바로 i²=−1이에요. −1이 왜 i의 제곱이냐는 물음이 반 바퀴 돌면 반대편이라는 그림으로 바뀐다. 곱셈이 회전이라는 이 강의 한 줄을 가장 깔끔하게 드러내는 것이 i다.

i만 그런 것이 아니라 어떤 복소수를 곱해도 회전과 확대다. 초록 화살표와 주황 화살표를 각각 끌면 둘의 곱이 금색 화살표로 함께 그려져요. 규칙은 딱 두 줄이다. 각도는 더하고 길이는 곱한다. 아래 두 줄에는 지금 두 화살표의 각도를 더한 값과 길이를 곱한 값이 적힌다. 예를 들어 첫째가 30도에 길이 2, 둘째가 40도에 길이 1.5면 곱은 70도에 길이 3이다. 곱한다는 것은 한 화살표를 다른 화살표의 각도만큼 더 돌리고 그 길이만큼 더 늘이는 일이에요. i는 길이 1에 각도 90도였으니, i를 곱하면 길이는 그대로(×1)이고 각도만 +90도다. 앞에서 본 90도 회전이 이 일반 규칙의 한 경우였던 셈이다. 곱셈은 외울 공식이 아니라 돌리고 늘이는 동작으로 보면 돼요.

각도와 길이가 곱셈의 진짜 주인공이라면 복소수를 처음부터 그 둘로 적는 편이 낫다. 그게 극형식이에요. 점을 끌면 두 수가 함께 따라온다. 원점에서 점까지의 거리 r, 그리고 가로축에서 잰 각도 θ다. 그림에서 점선 원의 반지름이 그 거리이고, 원점 옆의 금색 호가 그 각도다. 같은 점을 a+bi 대신 r∠θ로 부르는 것이고, 둘은 a=r cos θ, b=r sin θ로 오가며 아래 줄에 그 값이 적힌다. 굳이 바꾸는 까닭은 극형식에서 곱셈이 아주 쉬워지기 때문이에요. r₁∠θ₁ 곱하기 r₂∠θ₂는 그냥 (r₁r₂)∠(θ₁+θ₂)다. 길이는 곱하고 각도는 더한다는 앞의 규칙이 한 줄 공식이 되는 셈이다. 회전이 중요한 문제에서는 a+bi보다 r∠θ가 훨씬 편해요. 다음 강의 e^iθ가 바로 이 극형식을 한 글자로 압축한 것이다.

마지막으로 켤레와 크기 두 가지를 더 챙긴다. 금색 점을 끌면 가로축을 거울 삼아 위아래로 뒤집힌 파란 점이 함께 움직이는데, 그게 켤레 z̄예요. a+bi의 켤레는 a−bi, 허수부의 부호만 바꾼 것이다. 그림으로 보면 실수축에 대한 거울 반사다. 그리고 원점에서 점까지의 거리가 크기 |z|, 곧 점선 원의 반지름이고, 피타고라스 정리로 |z|=√(a²+b²)이다. 켤레와 크기는 짝을 이룬다. z 곱하기 z̄를 하면 각도는 θ와 −θ라 더해서 0이 되고, 길이는 |z|·|z|, 곧 z·z̄=|z|²이다. 회전이 정확히 상쇄되어 순수한 길이의 제곱만 남는 것이에요. 아래 줄에서 그 값을 바로 읽을 수 있고, 이 |z|²가 나중에 교류 전력이나 신호 세기를 잴 때 그대로 등장한다.