좌표는 보는 관점이다
같은 건물을 두고 누구는 3층 빨간 문이라 하고 누구는 정문에서 두 칸 왼쪽이라 한다. 가리키는 곳은 똑같은데 말하는 숫자가 다르다. 벡터도 그렇다. 공간에 박힌 화살표 자체는 하나인데, 그 위치를 읽는 좌표는 우리가 고른 기준자인 기저에 달려 있어요. 기준을 바꾸면 화살표는 꼼짝하지 않고 숫자만 바뀐다. 그리고 잘 고른 기준 하나가 복잡해 보이던 변환을 단번에 단순하게 만든다. AI가 데이터를 다루는 비밀도 여기 있는데, 특징(feature)이란 결국 우리가 고른 기저에서 읽은 좌표이기 때문이에요.
파란 화살표 P는 화면의 같은 자리에 못 박혀 있다. 버튼으로 기준자를 표준 기저와 비스듬한 기저 사이에서 바꿀 수 있어요. 표준 기저에서는 격자가 반듯하고, 화살표를 (2.0, 1.0)으로 읽는다. 비스듬한 기저로 넘기면 초록 b1과 주황 b2를 따라 격자가 기울지만 P 화살표는 1mm도 움직이지 않는다. 바뀌는 것은 읽어 낸 숫자뿐이고, 아래 식은 이제 그 화살표를 b1 몇 개와 b2 몇 개의 합으로 적는다. 화살표는 누가 어떻게 부르든 그 자리에 그대로 있는 단 하나예요.
이번에는 파란 벡터 v를 직접 끈다. 끄는 동안 두 쌍의 숫자가 함께 움직이는데, 위는 표준 좌표 (vx, vy)이고 아래는 비스듬한 기저에서 읽은 (α, β)예요. 같은 화살표가 두 언어로 동시에 통역되는 셈이다. 비스듬한 격자선을 따라가면 α는 b1 방향으로 몇 칸, β는 b2 방향으로 몇 칸인지가 그대로 보인다. v가 마침 b1과 나란하면 β는 0에 가까워지고, b2와 나란하면 α가 0에 가까워진다. 좌표란 그 기저의 눈으로 화살표를 잰 결과일 뿐이에요.
기저는 행렬 한 장으로 모아 둘 수 있다. 새 기저벡터들을 열로 세워 B = [b1 b2]를 만드는 것이다. 슬라이더로 행렬의 네 칸을 움직이면 표준 격자가 그 행렬을 따라 변하는 모습이 무대에 나타나요. 핵심은 행렬의 열이 표준 기저벡터가 도착하는 자리, 곧 새 기저벡터라는 점이다. 그 반대 작업은 역행렬이 맡아서, 표준 좌표를 새 기저 좌표로 바꾼다. 아래에는 역행렬과 행렬식이 함께 적힌다. 슬라이더를 살살 움직여 행렬식이 0에 가까워지면 역행렬 칸에 특이(singular)가 뜬다. 기저가 한 줄로 납작해져 더는 평면을 덮지 못하는 순간이에요. 「처음으로」를 누르면 표준 기저로 돌아간다.
좌표가 화살표를 풀어 읽는 것이라면, 거꾸로 좌표에서 화살표를 조립할 수도 있다. 슬라이더 α와 β를 움직이면 먼저 초록 화살표 α·b1을 원점에서 그리고, 그 끝에서 주황 화살표 β·b2를 이어 붙인다. 머리에 꼬리를 대는 평행사변형 더하기이고, 그 결과가 파란 화살표예요. α, β를 어떻게 정하든 평면의 어떤 점이든 딱 한 가지 방법으로 만들어진다. 빠지는 점도 겹치는 점도 없다. 그래서 (α, β)는 그 기저에서 그 화살표의 진짜 주소가 되는 것이에요. 아래 줄에는 조립된 화살표의 표준 좌표가 적힌다.
이제 보상을 받을 차례다. 변환 A 하나를 고정해 두고 버튼으로 두 관점을 오갈 수 있어요. 표준 관점에서는 격자가 비틀리고, 평범한 화살표는 방향까지 틀어져서 무슨 일이 벌어지는지 한눈에 들어오지 않는다. 고유기저 관점으로 넘기면 그 변환의 두 고유벡터를 새 축으로 세운다. 그러면 변환은 그저 두 축을 따라 늘이고 줄이는 순수한 늘림이 되고, 두 화살표는 돌지 않고 제 길이만 바뀌어요. 화살표 옆의 배율이 그 축의 고유값이고, 아래에도 두 고유값이 적힌다. 똑같은 변환인데 옳은 기저에서 보니 대각 행렬처럼 단순해진 것이다. 앞의 「고유벡터는 방향이 안 변하는 벡터다」에서 본 돌지 않는 방향이 바로 이 좋은 기저였다.